Mostre que:
Id=integral sen[ln (x)] d x=12 x sen(ln |x|)-x2 cos (ln |x|)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Id = integral senl[ln(x)r],dx
usando técnicas de integração. O conteúdo principal aqui é a mudança de variável u=ln(x) seguida de integração por partes em integral e^usen(u),du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = ln(x) Longrightarrow x = e^u, dx = e^u,du
Logo a integral original vira
Id = integral sen(u),e^u,du
Definimos
I = integral e^usen(u),du

Passo 3

Aplicamos integração por partes em I. Seja
v = sen(u), dw = e^u,du
Longrightarrow
dv = cos(u),du, w = e^u
Então
I = e^usen(u) - integral e^ucos(u),du
Chamemos
J = integral e^ucos(u),du

Passo 4

Agora integramos J por partes. Seja
v = cos(u), dw = e^u,du
Longrightarrow
dv = -sen(u),du, w = e^u
Então
J = e^ucos(u) - integral e^u(-sen(u)),du = e^ucos(u) + integral e^usen(u),du = e^ucos(u) + I

Passo 5

Voltando à expressão de I:
I = e^usen(u) - J = e^usen(u) - l(e^ucos(u) + Ir) = e^usen(u) - e^ucos(u) - I
Somando I dos dois lados,
2I = e^ul[sen(u)-cos(u)r] Longrightarrow I = 12,e^ul[sen(u)-cos(u)r] + C

Passo 6

Substituindo de volta e^u=x e u=ln(x), e observando que vale usar ln|x| para permitir x<0, obtemos
integral senl[ln(x)r],dx = 12,xl[sen(ln|x|)-cos(ln|x|)r] + C = 12x,sen(ln|x|)-x2cos(ln|x|)+C

Resposta

integral senl[ln(x)r],dx = 12x,sen(ln|x|)-x2cos(ln|x|)+C

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