Q 26 Mudando a variável, resolva as integrais abaixo que envolvem funções trigonométricas.
integral 2 x sen^4(x^2-1) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x,sen^4l(x^2-1r),dx
Usaremos mudança de variável e a identidade de redução de potência para sen^4u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2-1, du = 2x,dx
Assim a integral vira
integral 2x,sen^4l(x^2-1r),dx = integral sen^4u,du

Passo 3

Para integrar integral sen^4u,du usamos a identidade
sen^2u = 1-cos(2u)2 ;Longrightarrow; sen^4u = gl(1-cos(2u)2gr)^2 = 1 - 2cos(2u) + cos^2(2u)4
E aplicamos também
cos^2(2u) = 1+cos(4u)2
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sen^4u = 14l(1 - 2cos(2u) + tfrac1+cos(4u)2r) = 38 - 12cos(2u) + 18cos(4u)

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral sen^4u,du = integrall(tfrac38 - tfrac12cos(2u) + tfrac18cos(4u)r)du = 3u8 - 12cdotsen(2u)2 + 18cdotsen(4u)4 + C
Simplificando:
integral sen^4u,du = 3u8 - sen(2u)4 + sen(4u)32 + C

Passo 5

Voltando à variável x, lembramos que u = x^2-1. Assim
integral 2x,sen^4l(x^2-1r),dx = 3,(x^2-1)8 - senl(2(x^2-1)r)4 + senl(4(x^2-1)r)32 + C

Resposta

boxed integral 2x,sen^4l(x^2-1r),dx = 3,(x^2-1)8 - senl(2(x^2-1)r)4 + senl(4(x^2-1)r)32 + C

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