Utilize a ideia do exercício 6 para resolver as seguintes equações:
2 x^3 y^prime=y(y^2+3 x^2);

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
2x^3y' ;=; yl(y^2+3x^2r)
O conteúdo aqui é o método de equações homogêneas, usando a substituição
y = x,u(x), de modo a transformar a equação original em uma equação separável.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação de forma explícita em ,y'=dy/dx:
y' ;=;yl(y^2+3x^2r)2x^3
Note que o lado direito é uma função homogênea de x e y (mesmo grau em x e y), o que justifica tentar
y = x,u.

Passo 3

Com y = x,u temos
y' = dydx = u + x,dudx
Substituindo em
2x^3y' = y,(y^2+3x^2)
2x^3l(u + x,u'r) = x,ul((x,u)^2+3x^2r) = x,ul(x^2u^2+3x^2r) = x^3u,(u^2+3)
Dividindo tudo por x^3 resulta
2u + 2x,u' = u,(u^2+3) Longrightarrow 2x,dudx = u,(u^2+3) - 2u = u,(u^2+1)
Logo
dudx = u,(u^2+1)2x,
que é separável.

Passo 4

Separamos variáveis:
2u,(u^2+1),du = 1x,dx
Agora integramos ambos os lados:
integral 2u(u^2+1),du ;=; integral 1x,dx
Fazendo frações parciais em 2/[u(u^2+1)] obtemos
integral!l(2u-2uu^2+1r)du = 2ln|u| - lnl(u^2+1r) + C1 = lnu^2u^2+1 + C1
Do outro lado
integral1x,dx = ln|x| + C2.
Igualando e absorvendo constantes:
lnu^2u^2+1 = ln|x| + C Longrightarrow u^2u^2+1 = C,x,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando a u = y/x, temos
l(y/xr)^2l(y/xr)^2+1 = C,x Longrightarrow y^2y^2+x^2 = C,x
Multiplicando em cima e embaixo:
y^2 = C,x,l(y^2+x^2r) ;Longrightarrow; y^2(1 - C,x) = C,x^3 ;Longrightarrow; y^2 = C,x^31 - C,x

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
y^2y^2+x^2 = C,x,
ou equivalentemente
y^2 = C,x^31 - C,x,
onde C é constante arbitrária.

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