Utilize a ideia do exercício 6 para resolver as seguintes equações:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo aqui é o método de equações homogêneas, usando a substituição
, de modo a transformar a equação original em uma equação separável.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação de forma explícita em
:
Note que o lado direito é uma função homogênea de
e
(mesmo grau em
e
), o que justifica tentar
.
Passo 3
Com
temos
Substituindo em
dá
Dividindo tudo por
resulta
Logo
que é separável.
Passo 4
Separamos variáveis:
Agora integramos ambos os lados:
Fazendo frações parciais em
obtemos
Do outro lado
.
Igualando e absorvendo constantes:
Igualando e absorvendo constantes:
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Voltando a
, temos
Multiplicando em cima e embaixo:
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
ou equivalentemente
onde
é constante arbitrária.