Problema: Determine o domínio e simplifique
.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
. - Simplificar a expressão de
(ou seja, escrever uma forma algébrica mais simples, cuidando das restrições do domínio).
Informações relevantes que temos (só listar, sem resolver ainda):
- Numerador:
. - Denominador:
. - Lembrete importante que será usado depois: uma função racional só está definida onde o denominador for diferente de zero.
Passo 2
Encontrar onde o denominador é zero (porque esses pontos não podem estar no domínio). Resolver a equação
Para fatorar esse polinômio procuramos dois números cujo produto é
e cuja soma é
. Esses números são
e
, portanto podemos escrever a fatoração:
Assim os zeros do denominador são
e
. Conclusão:
não pode ser avaliada em
nem em
, então esses pontos ficam fora do domínio.
Passo 3
Agora fatorar o numerador. Observamos que
é uma diferença de quadrados. A fórmula diferença de quadrados é
Aplicando com
e
obtemos
Passo 4
Reescrever
com as fatorações que encontramos:
Agora vemos um fator comum
no numerador e no denominador. Em álgebra, se
é tal que
(ou seja,
), podemos cancelar esse fator e obter a expressão simplificada
Importante explicar com calma por que não se pode simplesmente “remover”
do domínio: cancelar um fator equivale a dividir numerador e denominador por esse fator, e dividir por zero é proibido. No original, em
tanto numerador quanto denominador valem zero; a expressão original não está definida lá. O cancelamento produz uma expressão equivalente para todos os
onde a expressão original faz sentido, mas não redefine o valor em pontos excluídos do domínio original.
Passo 5
Resumo das consequências:
- O domínio de
é todos os reais exceto os zeros do denominador original, ou seja e . Em notação: ou em intervalos . - A expressão algébrica simplificada é
, mas com a ressalva de que o ponto permanece excluído (é uma descontinuidade removível, um “buraco” no gráfico), enquanto continua sendo uma descontinuidade não-removível (assimetria vertical) porque o denominador da forma simplificada também anula em .
Passo 6
Como extra (útil para prova): o limite de
quando
existe e vale o valor da função simplificada em 3:
mas
não está definido — isso caracteriza exatamente um ponto com descontinuidade removível: o valor limite existe (6) mas a função não o toma porque o domínio original exclui 3.
Resposta
Domínio:
Forma simplificada: (com
e lembrando que
permanece excluído)
Forma simplificada: