Problema: Determine o domínio e simplifique f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}-5 x+6}.

Passo 1

O enunciado dá a função racional \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}-5x+6} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de f.
  • Simplificar a expressão de f(x) (ou seja, escrever uma forma algébrica mais simples, cuidando das restrições do domínio).
Informações relevantes que temos (só listar, sem resolver ainda):
  • Numerador: \,x^{2}-9.
  • Denominador: \,x^{2}-5x+6.
  • Lembrete importante que será usado depois: uma função racional só está definida onde o denominador for diferente de zero.

Passo 2

Encontrar onde o denominador é zero (porque esses pontos não podem estar no domínio). Resolver a equação
x^{2}-5x+6=0.
Para fatorar esse polinômio procuramos dois números cujo produto é 6 e cuja soma é -5. Esses números são -2 e -3, portanto podemos escrever a fatoração:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Assim os zeros do denominador são x=2 e x=3. Conclusão: f(x) não pode ser avaliada em x=2 nem em x=3, então esses pontos ficam fora do domínio.

Passo 3

Agora fatorar o numerador. Observamos que x^{2}-9 é uma diferença de quadrados. A fórmula diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=3 obtemos
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 4

Reescrever f(x) com as fatorações que encontramos:
f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}-5x+6}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}.
Agora vemos um fator comum (x-3) no numerador e no denominador. Em álgebra, se x é tal que (x-3)\neq 0 (ou seja, x\neq 3), podemos cancelar esse fator e obter a expressão simplificada
\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x+3}{x-2}\qquad\text{(para }x\neq 3\text{)}.
Importante explicar com calma por que não se pode simplesmente “remover” x=3 do domínio: cancelar um fator equivale a dividir numerador e denominador por esse fator, e dividir por zero é proibido. No original, em x=3 tanto numerador quanto denominador valem zero; a expressão original não está definida lá. O cancelamento produz uma expressão equivalente para todos os x onde a expressão original faz sentido, mas não redefine o valor em pontos excluídos do domínio original.

Passo 5

Resumo das consequências:
  • O domínio de f é todos os reais exceto os zeros do denominador original, ou seja x\neq 2 e x\neq 3. Em notação: \mathbb{R}\setminus\{2,3\} ou em intervalos (-\infty,2)\cup(2,3)\cup(3,\infty).
  • A expressão algébrica simplificada é \displaystyle \frac{x+3}{x-2}, mas com a ressalva de que o ponto x=3 permanece excluído (é uma descontinuidade removível, um “buraco” no gráfico), enquanto x=2 continua sendo uma descontinuidade não-removível (assimetria vertical) porque o denominador da forma simplificada também anula em x=2.

Passo 6

Como extra (útil para prova): o limite de f(x) quando x\to3 existe e vale o valor da função simplificada em 3:
\lim_{x\to 3} f(x)=\lim_{x\to 3}\frac{x+3}{x-2}=\frac{3+3}{3-2}=6,
mas f(3) não está definido — isso caracteriza exatamente um ponto com descontinuidade removível: o valor limite existe (6) mas a função não o toma porque o domínio original exclui 3.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{2,3\}
Forma simplificada: \displaystyle \frac{x+3}{x-2} (com x\neq 2 e lembrando que x=3 permanece excluído)

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