Calcule as integrais:
\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}} \cdot e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}\,e^{x}\,dx.
Lista clara do que foi dado e do que se pede:
  • Dado: a função integrando é \dfrac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}\,e^{x}.
  • Pedido: encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}\,e^{x}.
    Informações úteis imediatas que já posso usar (sem resolver ainda):
  • A presença de e^{x} sugere tentar integração por partes (porque a derivada de e^{x} é simples).
  • A presença de \sqrt{9-x^{2}} sugere substituição trigonométrica x=3\sin\theta (porque \sqrt{9-x^{2}}=3\cos\theta).
  • Não há informação numérica adicional; trata-se de uma integral simbólica.

Passo 2

Motivação da estratégia: trocar a variável por uma trigonométrica para eliminar a raiz e simplificar a parte algébrica. Faço a substituição clássica para radicais do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}}:
x=3\sin\theta,\qquad \theta=\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right).
Calcule as quantidades necessárias:
  • \sqrt{9-x^{2}} = \sqrt{9-9\sin^{2}\theta}=3\cos\theta.
  • dx = 3\cos\theta\,d\theta.
  • x^{2}=9\sin^{2}\theta.
Agora substituo tudo na integral original.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}\,e^{x}\,dx = \int \frac{3\cos\theta}{9\sin^{2}\theta}\, e^{\,3\sin\theta}\, (3\cos\theta\,d\theta).
Simplifico factor a factor:
\frac{3\cos\theta}{9\sin^{2}\theta}\cdot 3\cos\theta = \frac{9\cos^{2}\theta}{9\sin^{2}\theta} = \cot^{2}\theta.
Logo a integral fica
\int \cot^{2}\theta \, e^{3\sin\theta}\,d\theta.
Isso é uma forma muito mais limpa: a raiz desapareceu e sobrou uma combinação trigonométrica com e^{3\sin\theta}.

Passo 4

Uso uma identidade trigonométrica para simplificar \cot^{2}\theta:
\cot^{2}\theta = \csc^{2}\theta - 1.
Assim
\int \cot^{2}\theta \, e^{3\sin\theta}\,d\theta = \int (\csc^{2}\theta - 1)\, e^{3\sin\theta}\,d\theta = \int \csc^{2}\theta\, e^{3\sin\theta}\,d\theta \;-\; \int e^{3\sin\theta}\,d\theta.
A manipulação com essa identidade é padrão: transforma \cot^{2} numa soma de termos onde um deles é a derivada simples de \cot (já que \dfrac{d}{d\theta}\cot\theta = -\csc^{2}\theta), o que costuma ajudar em integração por partes ou substituições.

Passo 5

Analiso o primeiro termo \displaystyle \int \csc^{2}\theta\, e^{3\sin\theta}\,d\theta.
Posso usar a substituição natural u=\cot\theta porque du=-\csc^{2}\theta\,d\theta. Mas o integrando tem e^{3\sin\theta}, que em termos de u fica e^{3\sin\theta}=e^{3/\sqrt{1+u^{2}}} (pois \sin\theta=1/\sqrt{1+\cot^{2}\theta}); isto complica muito e não dá uma primitiva elementar. Portanto, esse termo não é resolúvel em funções elementares simples usando essa substituição.
O segundo termo \displaystyle \int e^{3\sin\theta}\,d\theta também é conhecido: a primitiva de e^{a\sin\theta} não é expressável por um conjunto finito de funções elementares (é uma integral clássica ligada a funções especiais — pode ser expandida em série envolvendo funções de Bessel). Portanto esse termo também é não elementar.

Passo 6

Concluo a natureza da primitiva: a tentativa de reduzir tudo a funções elementares falha — ambos os termos resultantes envolvem \int e^{3\sin\theta}\,d\theta (ou expressões equivalentes) e essa integral não possui primitiva elementar. Logo a antiderivada da função original não é elementar; a melhor coisa é expressá-la em termos da nova variável \theta (ou como uma integral não elementar conhecida).
Vou reescrever a resposta de volta em x, mostrando claramente a mudança de variável e deixando a parte essencial como uma integral em \theta (ou, equivalentemente, como \displaystyle\int \dfrac{e^{x}}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx, que é a mesma integral depois da substituição).

Passo 7

Coloco tudo junto e volto para x. Lembre que \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{3}\right). A mudança deu
\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}\,e^{x}\,dx = \int \cot^{2}\theta \, e^{3\sin\theta}\,d\theta = \int \csc^{2}\theta\, e^{3\sin\theta}\,d\theta \;-\; \int e^{3\sin\theta}\,d\theta.
Não há primitiva elementar para \displaystyle\int e^{3\sin\theta}\,d\theta; por outro lado, ao retornar a x observa-se que
\int \frac{e^{x}}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx
é exatamente a mesma integral não elementar (porque com x=3\sin\theta temos dx=3\cos\theta\,d\theta e \dfrac{e^{x}}{\sqrt{9-x^{2}}}dx = e^{3\sin\theta}d\theta).
Portanto a primitiva pode ser dada em termos desta integral não elementar mais algumas partes elementares que apareceriam se fizermos integração por partes parcial. Uma forma limpa de apresentar a antiderivada é expressá‑la usando essa integral irreduzível.

Resposta

\boxed{\displaystyle \int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}\,e^{x}\,dx = \int e^{3\sin\theta}\,\bigl(\csc^{2}\theta-1\bigr)\,d\theta \quad\text{com }\theta=\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right), }
onde, em particular, sob x=3\sin\theta tem-se \displaystyle\int \frac{e^{x}}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx=\int e^{3\sin\theta}\,d\theta, e a integral \displaystyle\int e^{3\sin\theta}\,d\theta não admite primitiva em termos de funções elementares (pode ser representada por séries ou por funções de Bessel). Portanto a antiderivada é expressa em termos dessa integral não elementar (mais as transformações mostradas acima).

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