Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integral indefinida)
Lista clara do que foi dado e do que se pede:
- Dado: a função integrando é
. - Pedido: encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é uma função
tal que .
Informações úteis imediatas que já posso usar (sem resolver ainda): - A presença de
sugere tentar integração por partes (porque a derivada de é simples). - A presença de
sugere substituição trigonométrica (porque ). - Não há informação numérica adicional; trata-se de uma integral simbólica.
Passo 2
Motivação da estratégia: trocar a variável por uma trigonométrica para eliminar a raiz e simplificar a parte algébrica. Faço a substituição clássica para radicais do tipo
:
Calcule as quantidades necessárias:
Agora substituo tudo na integral original.
Passo 3
Substituindo na integral:
Simplifico factor a factor:
Logo a integral fica
Isso é uma forma muito mais limpa: a raiz desapareceu e sobrou uma combinação trigonométrica com
.
Passo 4
Uso uma identidade trigonométrica para simplificar
:
Assim
A manipulação com essa identidade é padrão: transforma
numa soma de termos onde um deles é a derivada simples de
(já que
), o que costuma ajudar em integração por partes ou substituições.
Passo 5
Analiso o primeiro termo
.
Posso usar a substituição natural porque
. Mas o integrando tem
, que em termos de
fica
(pois
); isto complica muito e não dá uma primitiva elementar. Portanto, esse termo não é resolúvel em funções elementares simples usando essa substituição.
Posso usar a substituição natural
O segundo termo
também é conhecido: a primitiva de
não é expressável por um conjunto finito de funções elementares (é uma integral clássica ligada a funções especiais — pode ser expandida em série envolvendo funções de Bessel). Portanto esse termo também é não elementar.
Passo 6
Concluo a natureza da primitiva: a tentativa de reduzir tudo a funções elementares falha — ambos os termos resultantes envolvem
(ou expressões equivalentes) e essa integral não possui primitiva elementar. Logo a antiderivada da função original não é elementar; a melhor coisa é expressá-la em termos da nova variável
(ou como uma integral não elementar conhecida).
Vou reescrever a resposta de volta em
, mostrando claramente a mudança de variável e deixando a parte essencial como uma integral em
(ou, equivalentemente, como
, que é a mesma integral depois da substituição).
Passo 7
Coloco tudo junto e volto para
. Lembre que
. A mudança deu
Não há primitiva elementar para
; por outro lado, ao retornar a
observa-se que
é exatamente a mesma integral não elementar (porque com
temos
e
).
Portanto a primitiva pode ser dada em termos desta integral não elementar mais algumas partes elementares que apareceriam se fizermos integração por partes parcial. Uma forma limpa de apresentar a antiderivada é expressá‑la usando essa integral irreduzível.
Resposta
onde, em particular, sob
tem-se
, e a integral
não admite primitiva em termos de funções elementares (pode ser representada por séries ou por funções de Bessel). Portanto a antiderivada é expressa em termos dessa integral não elementar (mais as transformações mostradas acima).