Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a equação diferencial ordinária
. - O pedido implícito é encontrar a solução geral (ou as soluções) de
em função de .
Informações relevantes extraídas do enunciado: - A equação pode ser simplificada algebricamente antes de tentar resolver.
- Não há condição inicial, portanto vamos procurar a solução geral (família de integrais) e as soluções constantes (equilíbrio).
Passo 2
Simplificação e identificação do tipo de equação (passo conceitual):
Primeiro simplifico a expressão do lado direito para ver a estrutura da EDO:
Primeiro simplifico a expressão do lado direito para ver a estrutura da EDO:
Posso também escrever isso como
Esse formato mostra que a equação é separável: as variáveis
e
podem ser separadas em lados diferentes da igualdade. Antes de separar, é útil notar as soluções constantes (equilíbrios): são valores de
tais que
. Isso acontece quando o fator multiplicador é zero.
Passo 3
Encontrar soluções constantes (equilíbrios):
Resolvo . As soluções são:
Resolvo
Essas são soluções constantes da EDO:
e
. Sempre vale a pena listar essas soluções antes de procurar a família geral.
Passo 4
Separação de variáveis para as soluções não-constantes:
Para não constante (ou seja,
diferente de
e de
possivelmente), escrevo a separação:
Para
Multiplicando numerador e denominador por
(às vezes ajuda a visualizar integráveis), obtenho uma forma equivalente:
Agora integro ambos os lados em relação a
e
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Manipulação do integrando para facilitar a integração (aula curta sobre decomposição):
Observe que
Observe que
porque
. Assim o integrando fica
Logo
A primeira integral é elementar:
. A segunda integral não admite primitiva elementar simples; precisamos usar uma técnica alternativa (série ou função especial) para expressá‑la.
Passo 6
Solução mediante expansão em série (válida quando
, i.e.
) e introdução da função exponencial integral:
Para temos
, então podemos escrever a expansão geométrica
Para
Multiplicando por
(porque o integrando original tem
no numerador),
Portanto, para
,
Integro termo a termo (válido pela convergência uniforme na faixa considerada). Lembro que
onde
é a exponencial integral (uma função especial definida por uma integral imprópria; é comum aparecer em integrais do tipo
). Assim obtemos
valendo para
.
Passo 7
Escrevendo a solução geral (implícita) usando
e incluindo a contribuição
:
Juntando com o passo onde isolamos o , temos
Juntando com o passo onde isolamos o
e, pela expansão,
A constante
pode ser absorvida em
. Uma forma mais direta e prática de apresentar a solução geral (implícita) é:
que é correta e compacta. Mas, se for útil ter uma expressão em termos de
válida para
, então
Observações importantes sobre domínio e continuidade:
- As soluções constantes
e já foram listadas. - A expressão em série com
é válida para (onde a série geométrica converge). Para valores de acima de pode-se usar continuação analítica ou outra representação integral (a primitiva não é elementar). - Sem condição inicial, a forma implícita via integral é a maneira mais limpa de colocar a solução geral.
Passo 8
Resumo didático final (como usar isso na prova):
- Passo a passo na prova: (i) simplificar o RHS; (ii) procurar soluções constantes definindo RHS=0; (iii) separar variáveis; (iv) integrar ambos os lados; (v) se a integral não for elementar, deixe-a em forma de integral implícita ou use função especial/expansão em série se necessário.
- Para esta EDO em particular: separar leva a
. A integral não tem primitiva elementar; pode-se apresentar a solução em forma implícita por essa integral ou, para , usar a expansão em série e obter uma soma de exponenciais integrais .
Resposta
Soluções constantes:
e
Solução geral (implícita):
Representação em série válida para
: