\frac{d y}{d x}=\frac{y e^{y}-9 y}{e^{y}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a equação diferencial ordinária \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y e^{y}-9y}{e^{y}}.
  • O pedido implícito é encontrar a solução geral (ou as soluções) de y em função de x.
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser simplificada algebricamente antes de tentar resolver.
  • Não há condição inicial, portanto vamos procurar a solução geral (família de integrais) e as soluções constantes (equilíbrio).

Passo 2

Simplificação e identificação do tipo de equação (passo conceitual):
Primeiro simplifico a expressão do lado direito para ver a estrutura da EDO:
\frac{dy}{dx}=\frac{y e^{y}-9y}{e^{y}}=\frac{y\bigl(e^{y}-9\bigr)}{e^{y}}.
Posso também escrever isso como
\frac{dy}{dx}=y\!\left(1-9e^{-y}\right).
Esse formato mostra que a equação é separável: as variáveis x e y podem ser separadas em lados diferentes da igualdade. Antes de separar, é útil notar as soluções constantes (equilíbrios): são valores de y tais que \dfrac{dy}{dx}=0. Isso acontece quando o fator multiplicador é zero.

Passo 3

Encontrar soluções constantes (equilíbrios):
Resolvo y\bigl(e^{y}-9\bigr)=0. As soluções são:
y=0\quad\text{ou}\quad e^{y}=9\Rightarrow y=\ln 9.
Essas são soluções constantes da EDO: y(x)\equiv 0 e y(x)\equiv \ln 9. Sempre vale a pena listar essas soluções antes de procurar a família geral.

Passo 4

Separação de variáveis para as soluções não-constantes:
Para y não constante (ou seja, y diferente de 0 e de \ln 9 possivelmente), escrevo a separação:
\frac{dy}{y(1-9e^{-y})}=dx.
Multiplicando numerador e denominador por e^{y} (às vezes ajuda a visualizar integráveis), obtenho uma forma equivalente:
\frac{e^{y}}{y(e^{y}-9)}\,dy=dx.
Agora integro ambos os lados em relação a x e y:
\int \frac{e^{y}}{y(e^{y}-9)}\,dy=\int dx = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Manipulação do integrando para facilitar a integração (aula curta sobre decomposição):
Observe que
\frac{e^{y}}{e^{y}-9}=1+\frac{9}{e^{y}-9},
porque e^{y}=(e^{y}-9)+9. Assim o integrando fica
\frac{e^{y}}{y(e^{y}-9)}=\frac{1}{y}\left(1+\frac{9}{e^{y}-9}\right).
Logo
\int \frac{e^{y}}{y(e^{y}-9)}\,dy=\int\frac{1}{y}\,dy+9\int\frac{1}{y(e^{y}-9)}\,dy.
A primeira integral é elementar: \int \dfrac{1}{y}\,dy=\ln|y|. A segunda integral não admite primitiva elementar simples; precisamos usar uma técnica alternativa (série ou função especial) para expressá‑la.

Passo 6

Solução mediante expansão em série (válida quando e^{y}<9, i.e. y<\ln 9) e introdução da função exponencial integral:
Para y<\ln 9 temos \dfrac{e^{y}}{9}<1, então podemos escrever a expansão geométrica
\frac{1}{e^{y}-9}=-\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{1-e^{y}/9}=-\frac{1}{9}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{e^{y}}{9}\right)^{n}.
Multiplicando por e^{y} (porque o integrando original tem e^{y} no numerador),
\frac{e^{y}}{e^{y}-9}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n y}}{9^{n}}.
Portanto, para y<\ln 9,
\frac{e^{y}}{y(e^{y}-9)}=-\frac{1}{y}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n y}}{9^{n}}.
Integro termo a termo (válido pela convergência uniforme na faixa considerada). Lembro que
\int \frac{e^{n y}}{y}\,dy=\operatorname{Ei}(n y)+\text{const},
onde \operatorname{Ei} é a exponencial integral (uma função especial definida por uma integral imprópria; é comum aparecer em integrais do tipo \int e^{a y}/y\,dy). Assim obtemos
\int \frac{e^{y}}{y(e^{y}-9)}\,dy=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9^{n}}\operatorname{Ei}(n y)+\text{const},
valendo para y<\ln 9.

Passo 7

Escrevendo a solução geral (implícita) usando \operatorname{Ei} e incluindo a contribuição \ln|y|:
Juntando com o passo onde isolamos o \ln|y|, temos
x+C=\int \frac{e^{y}}{y(e^{y}-9)}\,dy
e, pela expansão,
x+C=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9^{n}}\operatorname{Ei}(n y)+\text{const}_{1}.
A constante \text{const}_{1} pode ser absorvida em C. Uma forma mais direta e prática de apresentar a solução geral (implícita) é:
x + C = \int^{y}\frac{e^{t}}{t(e^{t}-9)}\,dt,
que é correta e compacta. Mas, se for útil ter uma expressão em termos de \operatorname{Ei} válida para y<\ln 9, então
x + C = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9^{n}}\operatorname{Ei}(n y).
Observações importantes sobre domínio e continuidade:
  • As soluções constantes y\equiv 0 e y\equiv \ln 9 já foram listadas.
  • A expressão em série com \operatorname{Ei} é válida para y<\ln 9 (onde a série geométrica converge). Para valores de y acima de \ln 9 pode-se usar continuação analítica ou outra representação integral (a primitiva não é elementar).
  • Sem condição inicial, a forma implícita via integral é a maneira mais limpa de colocar a solução geral.

Passo 8

Resumo didático final (como usar isso na prova):
  • Passo a passo na prova: (i) simplificar o RHS; (ii) procurar soluções constantes definindo RHS=0; (iii) separar variáveis; (iv) integrar ambos os lados; (v) se a integral não for elementar, deixe-a em forma de integral implícita ou use função especial/expan­são em série se necessário.
  • Para esta EDO em particular: separar leva a \displaystyle \int \frac{e^{y}}{y(e^{y}-9)}\,dy=x+C. A integral não tem primitiva elementar; pode-se apresentar a solução em forma implícita por essa integral ou, para y<\ln 9, usar a expansão em série e obter uma soma de exponenciais integrais \operatorname{Ei}(n y).

Resposta

Soluções constantes: y(x)\equiv 0 e y(x)\equiv \ln 9.
Solução geral (implícita): x + C=\int^{y}\frac{e^{t}}{t\bigl(e^{t}-9\bigr)}\,dt.
Representação em série válida para y<\ln 9: x + C=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9^{n}}\operatorname{Ei}(n y).

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