Problema 3. Determine os escalares \alpha e \beta tais que
(5,1)=\alpha(2,-1)+\beta(1,3)
Em seguida, interprete geometricamente o significado de escrever um vetor como combinação linear de outros dois.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade de vetores
(5,1)=\alpha(2,-1)+\beta(1,3)
e pede duas coisas:
  • Determinar os escalares \alpha e \beta.
  • Interpretar geometricamente o que significa escrever um vetor como combinação linear de outros dois.
Informações relevantes dadas:
  • Vetor alvo: (5,1).
  • Vetores que geram a combinação: (2,-1) e (1,3).
  • As incógnitas são os escalares \alpha e \beta.

Passo 2

Vamos transformar a igualdade vetorial em um sistema de equações coordenada a coordenada. A soma de vetores se faz componente a componente, então
(5,1)=\alpha(2,-1)+\beta(1,3)
é equivalente a duas equações escalares:
5 = 2\alpha + \beta
1 = -\alpha + 3\beta

Passo 3

Vou resolver o sistema por substituição. Da primeira equação isolo \beta:
\beta = 5 - 2\alpha.
Agora substituo esse \beta na segunda equação:
1 = -\alpha + 3\beta = -\alpha + 3(5 - 2\alpha).
Desenvolvendo o lado direito:
1 = -\alpha + 15 - 6\alpha = 15 - 7\alpha.
Isolando \alpha:
7\alpha = 15 - 1 = 14,
portanto
\alpha = 2.

Passo 4

Com \alpha=2 volto à expressão que achamos para \beta:
\beta = 5 - 2\alpha = 5 - 2\cdot 2 = 5 - 4 = 1.
Logo \beta=1.

Passo 5

Cheque rápido: calculo a combinação para verificar:
2(2,-1) + 1(1,3) = (4,-2) + (1,3) = (5,1),
que coincide com o vetor alvo. Portanto a solução está correta.

Passo 6

Agora a interpretação geométrica, devagarinho e com exemplos:
  • Dizer que
(5,1)=\alpha(2,-1)+\beta(1,3)
significa que o vetor (5,1) é obtido escalando o vetor (2,-1) por \alpha, escalando (1,3) por \beta e somando os dois resultados. Geometricamente, imagine partir da origem, andar no sentido e no tamanho do vetor (2,-1) multiplicado por \alpha, depois, a partir desse ponto, andar no sentido e tamanho do vetor (1,3) multiplicado por \beta; o ponto final é o extremo do vetor (5,1).
  • Em termos mais visuais: \alpha(2,-1) e \beta(1,3) são dois vetores que formam os lados de um paralelogramo (quando colocados com a mesma origem). A soma deles é a diagonal desse paralelogramo, que é exatamente o vetor resultante.
  • Unicidade da representação: os vetores (2,-1) e (1,3) não são colineares (não são múltiplos um do outro). Uma maneira rápida de ver isso é calcular o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ -1 & 3\end{pmatrix} = 2\cdot 3 - 1\cdot(-1) = 6 + 1 = 7 \neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, eles são linearmente independentes e, em \mathbb{R}^2, isso significa que eles formam uma base do plano. Portanto qualquer vetor de \mathbb{R}^2 (inclusive (5,1)) pode ser escrito como combinação linear deles, e essa escrita é única — é por isso que encontramos exatamente \alpha=2 e \beta=1.
  • Contraste rápido (para fixar a ideia): se os dois vetores fossem colineares (por exemplo (2,-1) e (4,-2)), então só conseguem alcançar pontos numa reta. Nesse caso, um vetor fora dessa reta não teria representação, e um vetor sobre a reta teria infinitas representações (porque há dependência linear).

Passo 7

Dica para a prova: ao ver uma igualdade vetorial em \mathbb{R}^2, imediatamente escreva as duas equações de componentes e resolva o pequeno sistema 2×2 (substituição ou eliminação). Se quiser saber se a representação é única, verifique o determinante (ou se os vetores são múltiplos).

Resposta

\alpha=2,\\ \beta=1
O vetor (5,1) é obtido escalando (2,-1) por 2 e (1,3) por 1 e somando; geometricamente é a diagonal do paralelogramo formado por esses vetores e essa representação é única porque os vetores não são colineares (determinante 7\neq0).

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