Problema 4. Determine todos os valores reais de
para os quais o vetor
tem norma igual a 3.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
com
e pede: determinar todos os valores reais de
para os quais a norma de
é igual a
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- componente
do vetor é ; - componente
do vetor é ; - componente
do vetor é ; - condição a satisfazer:
.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicando com calma). Para um vetor em
dado por
, a norma (ou comprimento) desse vetor é
- Aqui
indica o comprimento do vetor. -
são as componentes do vetor; elevamos cada uma ao quadrado, somamos e tiramos a raiz quadrada.
Exemplo rápido e concreto: se o vetor fosse, sua norma seria . Isso ilustra o procedimento que vamos aplicar.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao vetor dado
, a condição
vira a equação
Escrevendo os quadrados numéricos:
Passo 4
Resolver a equação. Como ambos os lados são não negativos (a raiz quadrada produz um número
e
), podemos elevar os dois lados ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Fazendo isso:
Ou seja,
Subtraindo
de ambos os lados:
Tomando raiz quadrada (lembrando de considerar sinais positivos e negativos):
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
- Para
: . OK. - Para
: . OK.
Ambos satisfazem a condição.