Problema 4. Determine todos os valores reais de m para os quais o vetor
\vec{u}=(m, 2,-1)
tem norma igual a 3.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{u}=(m,2,-1) com m\in\mathbb{R} e pede: determinar todos os valores reais de m para os quais a norma de \vec{u} é igual a 3.
Informações importantes fornecidas:
  • componente x do vetor é m;
  • componente y do vetor é 2;
  • componente z do vetor é -1;
  • condição a satisfazer: \|\vec{u}\|=3.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicando com calma). Para um vetor em \mathbb{R}^3 dado por (x,y,z), a norma (ou comprimento) desse vetor é
\|\,(x,y,z)\,\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  • Aqui \|\cdot\| indica o comprimento do vetor.
  • x,y,z são as componentes do vetor; elevamos cada uma ao quadrado, somamos e tiramos a raiz quadrada.
    Exemplo rápido e concreto: se o vetor fosse (1,2,2), sua norma seria \sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3. Isso ilustra o procedimento que vamos aplicar.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao vetor dado \vec{u}=(m,2,-1), a condição \|\vec{u}\|=3 vira a equação
\sqrt{m^2+2^2+(-1)^2}=3.
Escrevendo os quadrados numéricos:
\sqrt{m^2+4+1}=3.

Passo 4

Resolver a equação. Como ambos os lados são não negativos (a raiz quadrada produz um número \ge0 e 3>0), podemos elevar os dois lados ao quadrado sem introduzir soluções extranhas. Fazendo isso:
m^2+4+1=3^2.
Ou seja,
m^2+5=9.
Subtraindo 5 de ambos os lados:
m^2=4.
Tomando raiz quadrada (lembrando de considerar sinais positivos e negativos):
m=2 \quad\text{ou}\quad m=-2.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
  • Para m=2: \|\vec{u}\|=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3. OK.
  • Para m=-2: \|\vec{u}\|=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3. OK.
    Ambos satisfazem a condição.

Resposta

\,m=2
\,m=-2

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