Problema 5. O vetor \vec{v}=(-2,5) tem extremidade final no ponto Q(4,-1). Determine o ponto inicial P do segmento orientado que representa \vec{v}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • O vetor \vec{v}=(-2,5).
  • A extremidade final (ponto terminal) do segmento orientado que representa \vec{v} é Q(4,-1).
    O que se pede: determinar o ponto inicial P desse segmento orientado.
    Vou representar o ponto inicial por P=(x_P,y_P), incógnitas que precisamos encontrar.

Passo 2

Entendendo a relação entre pontos e componentes de um vetor: se \overrightarrow{PQ} é o vetor que vai de P até Q, então as componentes desse vetor são as diferenças entre as coordenadas de Q e de P. Formalmente:
\overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P).
No nosso caso essa diferença deve ser igual a \vec{v}. Ou seja, vale a igualdade vetorial
\vec{v}=\overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P).

Passo 3

Agora escrevemos as equações das componentes substituindo \vec{v}=(-2,5)\) e \(Q(4,-1)\): \[\begin{cases} -2 = x_Q - x_P,\\[4pt] 5 = y_Q - y_P. \end{cases}
Substituindo x_Q=4\] e \(y_Q=-1:
\begin{cases} -2 = 4 - x_P,\\[4pt] 5 = -1 - y_P. \end{cases}]

Passo 4

Resolver a primeira equação para x_P:
-2 = 4 - x_P.
Isolando x_P:
- x_P = -2 - 4 = -6,
portanto
x_P = 6.

Passo 5

Resolver a segunda equação para y_P:
5 = -1 - y_P.
Isolando y_P:
- y_P = 5 + 1 = 6,
logo
y_P = -6.

Passo 6

Verificação rápida: calculando \overrightarrow{PQ}=Q-P com P=(6,-6),
\overrightarrow{PQ}=(4-6,\;-1-(-6))=(-2,\;5),
que coincide com \vec{v}. Então os cálculos estão corretos.

Resposta

\,P=(6,-6)

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