Problema 5. O vetor \vec{v}=(-2,5) tem extremidade final no ponto Q(4,-1). Determine o ponto inicial P do segmento orientado que representa \vec{v}.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
O vetor \vec{v}=(-2,5).
A extremidade final (ponto terminal) do segmento orientado que representa \vec{v} é Q(4,-1).
O que se pede: determinar o ponto inicial P desse segmento orientado.
Vou representar o ponto inicial por P=(x_P,y_P), incógnitas que precisamos encontrar.
Passo 2
Entendendo a relação entre pontos e componentes de um vetor: se \overrightarrow{PQ} é o vetor que vai de P até Q, então as componentes desse vetor são as diferenças entre as coordenadas de Q e de P. Formalmente:
\overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P).
No nosso caso essa diferença deve ser igual a \vec{v}. Ou seja, vale a igualdade vetorial
\vec{v}=\overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P).
Passo 3
Agora escrevemos as equações das componentes substituindo \vec{v}=(-2,5)\) e \(Q(4,-1)\):
\[\begin{cases} -2 = x_Q - x_P,\\[4pt] 5 = y_Q - y_P. \end{cases}