Problema 6. Dados os pontos A(1,-2) e B(7,4), determine os pontos M e N do segmento \overline{A B} tais que
\overrightarrow{A M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B} \quad \text { e } \quad \overrightarrow{A N}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}

Passo 1

O enunciado dá dois pontos A e B e pede para encontrar dois pontos M e N sobre o segmento \overline{AB} tais que
\overrightarrow{AM}=\tfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB} \qquad\text{e}\qquad \overrightarrow{AN}=\tfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AB}.
Informações fornecidas:
  • A tem coordenadas A(1,-2).
  • B tem coordenadas B(7,4).
O que precisamos entregar:
  • As coordenadas do ponto M.
  • As coordenadas do ponto N.

Passo 2

Lembrete de como trabalhar com vetores posição em coordenadas (a lição rápida):
  • Se A(x_A,y_A) e B(x_B,y_B), então o vetor \overrightarrow{AB} tem coordenadas
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).
  • Se um ponto P está no segmento \overline{AB} de modo que \overrightarrow{AP}=t\,\overrightarrow{AB} com t\in\mathbb{R}, então as coordenadas de P são
P = A + t\,\overrightarrow{AB},
isto é, coordenada a coordenada:
(x_P,y_P)=(x_A + t(x_B-x_A),\;y_A + t(y_B-y_A)).
Aqui t é o parâmetro que indica a fração do caminho de A a B: se 0\le t\le1, P fica no segmento entre A e B.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AB} usando as coordenadas dadas:
\overrightarrow{AB}=(7-1,\;4-(-2))=(6,\;6).

Passo 4

Encontrar M sabendo que \overrightarrow{AM}=\tfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}.
Primeiro calculemos \tfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}:
\tfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}=\tfrac{1}{3}(6,6)=(2,2).
Isso significa que o vetor \overrightarrow{AM} é (2,2). Logo as coordenadas de M são
M = A + (2,2) = (1+2,\;-2+2) = (3,\;0).

Passo 5

Encontrar N sabendo que \overrightarrow{AN}=\tfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AB}.
Primeiro calculemos \tfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AB}:
\tfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AB}=\tfrac{3}{4}(6,6)=\bigl(\tfrac{18}{4},\tfrac{18}{4}\bigr)=\bigl(\tfrac{9}{2},\tfrac{9}{2}\bigr).
Isso significa que \overrightarrow{AN}=\bigl(\tfrac{9}{2},\tfrac{9}{2}\bigr). Então as coordenadas de N são
N = A + \bigl(\tfrac{9}{2},\tfrac{9}{2}\bigr) = \bigl(1+\tfrac{9}{2},\;-2+\tfrac{9}{2}\bigr)=\bigl(\tfrac{11}{2},\tfrac{5}{2}\bigr).

Passo 6

Checagem rápida (para ganhar confiança): ambos t=\tfrac{1}{3} e t=\tfrac{3}{4} estão entre 0 e 1, portanto M e N realmente pertencem ao segmento \overline{AB}.

Resposta

M=(3,0)
N=\bigl(\tfrac{11}{2},\tfrac{5}{2}\bigr)

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