(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Anel) Resolva o seguinte problema de Dirichlet para a equação de Laplace no anel
Assumindo que u representa temperatura, encontre as isotermas e esboce o gráfico delas como curvas de nível. (Dica: mostre que soluções radiais da equação de Laplace, isto é, soluções que não dependem de theta, são da forma
u(r)=a log r+b
para algumas constantes a, b in R.)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no anel 1<r<2 com condições u(1,θ)=0 e u(2,θ)=100. O conteúdo é solução radial da equação de Laplace em coordenadas polares, e vamos precisar usar que, se não há dependência em θ, a equação reduz-se a u₍rr₎ + (1/r)u₍r₎ = 0.
Passo 2
Começamos supondo u=u® apenas. Então ∂²u/∂θ²=0 e a equação de Laplace em polares vira
urr + 1rur = 0
Passo 3
Essa é uma equação de primeira ordem em u_r. Podemos escrever (r u_r)’ = 0, o que ao integrar dá r u_r = a, com a ∈ ℝ. Integrando de novo, obtemos
u(r) = a ln r + b,onde a e b são constantes.
Passo 4
Agora impomos as condições de contorno: em r=1 vale u(1)=0, logo
0 = a ln 1 + b implies b = 0Em r=2 vale u(2)=100, então
100 = a ln 2 + 0 implies a = 100ln 2
Passo 5
Logo a solução é
u(r) = 100ln 2,ln rIsso mostra que a temperatura depende só de r e cresce logaritmicamente.
Passo 6
Para as isotermas (curvas de nível) fixamos u®=C. Da expressão acima temos
$$C = \frac{100}{\ln 2},\ln r \implies \ln r = \frac{C\ln 2}{100} \implies r = 2^{C/100}.
$$
Passo 7
Portanto, as isotermas são círculos concêntricos de raio r = 2^{C/100}, variando C de 0 até 100. Um esboço seria círculos centrados na origem, com raio 1 para C=0 e raio 2 para C=100.
Resposta
u®=\frac{100}{\ln 2},\ln r; as isotermas são os círculos r=2^{C/100} para 0\le C\le100.