(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace na Cunha) Encontre a solução para os seguintes problemas na cunha
(b)
Passo 1
O enunciado pede uma solução de Dirichlet de De em coordenadas polares, numa cunha de ângulo alpha, com condições de contorno nulas nas arestas radiais e valor dado no arco r=1. Aqui as arestas são theta=0 e theta=pi/4, e no círculo r=1 temos u(1,theta)=sintheta. Assim, o conteúdo é separação de variáveis para a equação de Laplace em polares, e logo precisaremos usar séries de Fourier de seno em [0,pi/4].
Passo 2
Assumimos a forma separada u(r,theta)=R(r)Theta(theta). Substituindo em urr+tfrac1r ur+tfrac1r^2uthetatheta=0 e dividindo por RTheta obtemos
r^2R''R+rR'R+Theta''Theta=0
que leva à separação
r^2R''+rR'-k^2R=0,
Theta''+k^2Theta=0,
onde k^2 é a constante de separação.
Passo 3
As condições Theta(0)=0 e Theta(pi/4)=0 forçam as soluções não triviais da equação de Theta a serem
Thetan(theta)=sinl(knthetar),
com autovalores
kn=npipi/4=4n,
para n=1,2,3,dots.
Passo 4
A equação radial é equidimensional e tem soluções r^kn e r^-kn. Para que u seja finita em r=0 descartamos r^-kn, ficando
Rn(r)=r^kn=r^4n
Logo a solução geral é
u(r,theta)=sumn=1^infty an,r^4nsin(4ntheta)
Passo 5
Para satisfazer u(1,theta)=sintheta em 0<=theta<=pi/4 fazemos a série de Fourier-seno: