(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace na Cunha) Encontre a solução u(r, theta) para os seguintes problemas na cunha
(b) ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0=0 & se 0

Passo 1

O enunciado pede uma solução de Dirichlet de De em coordenadas polares, numa cunha de ângulo alpha, com condições de contorno nulas nas arestas radiais e valor dado no arco r=1. Aqui as arestas são theta=0 e theta=pi/4, e no círculo r=1 temos u(1,theta)=sintheta. Assim, o conteúdo é separação de variáveis para a equação de Laplace em polares, e logo precisaremos usar séries de Fourier de seno em [0,pi/4].

Passo 2

Assumimos a forma separada u(r,theta)=R(r)Theta(theta). Substituindo em urr+tfrac1r ur+tfrac1r^2uthetatheta=0 e dividindo por RTheta obtemos
r^2R''R+rR'R+Theta''Theta=0
que leva à separação
r^2R''+rR'-k^2R=0,
Theta''+k^2Theta=0,
onde k^2 é a constante de separação.

Passo 3

As condições Theta(0)=0 e Theta(pi/4)=0 forçam as soluções não triviais da equação de Theta a serem
Thetan(theta)=sinl(knthetar),
com autovalores
kn=npipi/4=4n,
para n=1,2,3,dots.

Passo 4

A equação radial é equidimensional e tem soluções r^kn e r^-kn. Para que u seja finita em r=0 descartamos r^-kn, ficando
Rn(r)=r^kn=r^4n
Logo a solução geral é
u(r,theta)=sumn=1^infty an,r^4nsin(4ntheta)

Passo 5

Para satisfazer u(1,theta)=sintheta em 0<=theta<=pi/4 fazemos a série de Fourier-seno:
sintheta=sumn=1^infty ansin(4ntheta)
Os coeficientes vêm de
an=2alphaintegral0^alphasinthetasin(4ntheta),dtheta,
com alpha=pi/4.

Passo 6

Calculando o integral usando
sin Asin B=tfrac12[cos(A-B)-cos(A+B)],
obtemos
an=8piintegral0^pi/4sinthetasin(4ntheta),dtheta =16nraiz2(-1)^n+1pi(16n^2-1)

Passo 7

Substituindo de volta, a solução final é
u(r,theta)=sumn=1^infty(-1)^n+116nraiz2pi(16n^2-1);r^4nsin(4ntheta)

Resposta

u(r,theta)=sumn=1^infty(-1)^n+116nraiz2pi(16n^2-1),r^4nsin(4ntheta).

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