(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace fora do Disco) Use o método de separação de variáveis para mostrar que a solução para o problema de Dirichlet para a equação de Laplace fora do disco (região infinita)
ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0 & se r>R e 0
é dada por
u(r, theta)=a02+sumn=1^infty R^nr^n(an cos n theta+bn sen n theta),
com
ll an=1pi integral0^2 pi f(theta) cos n theta d theta, & n >= 0, bn=1pi integral0^2 pi f(theta) sen n theta d theta, & n >= 1

Passo 1

O problema pede para achar uma função u(r,theta) que satisfaz a equação de Laplace em coordenadas polares fora do disco de raio R (ou seja, para r>R), com o valor de u dado na fronteira r=R por uma função f(theta). Vamos usar separação de variáveis e expansão em séries de Fourier para construir essa solução.

Passo 2

Proponho uma solução do tipo u(r,theta)=R(r)Theta(theta). Substituindo na equação de Laplace em polares
urr+1r ur+1r^2uthetatheta=0
temos
R''(r)Theta(theta)+1rR'(r)Theta(theta)+1r^2R(r)Theta''(theta)=0

Passo 3

Dividindo por R(r)Theta(theta) e multiplicando por r^2 obtemos
r^2R''R+rR'R+Theta''Theta=0

Passo 4

Isso sugere igualar cada parte a uma constante -n^2. Assim definimos o sistema:
Theta''+n^2Theta=0,
r^2R''+rR'-n^2R=0

Passo 5

A equação angular Theta''+n^2Theta=0 com condição de periodicidade em theta tem solução
Thetan(theta)=Ancos(ntheta)+Bnsin(ntheta), n=0,1,2,dots

Passo 6

A equação radial é uma equação de Euler-Cauchy. Suas soluções são
Rn(r)=Cn r^n+Dn r^-n

Passo 7

Como pedimos u(r,theta) regular em r=infty, devemos descartar o termo que cresce ( r^n para n>0) e, no caso n=0, descartar o termo ln r. Logo
R0(r)=constante, Rn(r)=Dn r^-n (n>=1)

Passo 8

Combinando índices e coeficientes, a solução geral fora do disco fica
u(r,theta)=a02+sumn=1^infty l(Cnr^ncos ntheta+Dnr^nsin nthetar)

Passo 9

Para ajustar a condição de contorno u(R,theta)=f(theta), expandimos f em série de Fourier
f(theta)=a02+sumn=1^inftyl(ancos ntheta+bnsin nthetar),

Passo 10

onde
an=1piintegral0^2pif(theta)cos ntheta,dtheta, bn=1piintegral0^2pif(theta)sin ntheta,dtheta

Passo 11

Comparando coeficientes em u(R,theta) e em f(theta) vemos que
Cn= an R^n, Dn= bn R^n

Passo 12

Substituindo de volta em u(r,theta) obtemos a forma desejada.

Resposta

u(r,theta)=a02+sumn=1^inftyR^nr^nl(ancos ntheta+bnsin nthetar), com an=tfrac1piintegral0^2pif(theta)cos ntheta,dtheta e bn=tfrac1piintegral0^2pif(theta)sin ntheta,dtheta.

Exercícios relacionados