(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace fora do Disco) Use o método de separação de variáveis para mostrar que a solução para o problema de Dirichlet para a equação de Laplace fora do disco (região infinita)
é dada por
com
Passo 1
O problema pede para achar uma função
que satisfaz a equação de Laplace em coordenadas polares fora do disco de raio
(ou seja, para
), com o valor de
dado na fronteira
por uma função
. Vamos usar separação de variáveis e expansão em séries de Fourier para construir essa solução.
Passo 2
Proponho uma solução do tipo
. Substituindo na equação de Laplace em polares
temos
Passo 3
Dividindo por
e multiplicando por
obtemos
Passo 4
Isso sugere igualar cada parte a uma constante
. Assim definimos o sistema:
Passo 5
A equação angular
com condição de periodicidade em
tem solução
Passo 6
A equação radial é uma equação de Euler-Cauchy. Suas soluções são
Passo 7
Como pedimos
regular em
, devemos descartar o termo que cresce (
para
) e, no caso
, descartar o termo
. Logo
Passo 8
Combinando índices e coeficientes, a solução geral fora do disco fica
Passo 9
Para ajustar a condição de contorno
, expandimos
em série de Fourier
Passo 10
onde
Passo 11
Comparando coeficientes em
e em
vemos que
Passo 12
Substituindo de volta em
obtemos a forma desejada.