Avalie a integral.
integral0^pi / 4 sec ^4 theta tg^4 theta d theta

Passo 1

Estamos avaliando a integral integral0^pi/4sec^4theta,tan^4theta,dtheta. O assunto aqui é integração por substituição trigonométrica, e vamos usar a relação ddtheta(tantheta)=sec^2theta e a identidade sec^2theta=1+tan^2theta.

Passo 2

Fazendo a troca de variável u=tantheta, fica du=sec^2theta,dtheta. Note que
sec^4theta,tan^4theta,dtheta = sec^2theta,tan^4theta; (sec^2theta,dtheta) = u^4,(1+u^2),du
Os limites transformam-se: quando theta=0, u=0; quando theta=pi/4, u=1.

Passo 3

A integral passa a ser
integral0^1(u^4+u^6),du
Aqui basta integrar termo a termo.

Passo 4

Calculando:
integral0^1u^4,du=u^55|0^1=15, integral0^1u^6,du=u^77|0^1=17
Somando, obtemos 15+17=7+535=1235.

Resposta

1235

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