(Problema - Distância Mínima) Encontre o ponto na superfície
que está mais próximo do ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e o ponto
. A pergunta é: qual é o ponto sobre a superfície
que está mais próximo do ponto
?\n
Informações relevantes:
são coordenadas no plano e
é determinado pela superfície como
.\n
Procuramos um ponto sobre a superfície (logo
) que minimize a distância ao ponto
.
Informações relevantes:
Procuramos um ponto
Passo 2
Estratégia (explicação didática): em 3D a distância entre dois pontos
e
é
Para minimizar a distância é mais prático minimizar o quadrado da distância, porque a raiz quadrada é monótona crescente — o ponto que minimiza a distância também minimiza o quadrado da distância, mas trabalhar com o quadrado evita a raiz e simplifica as contas.\n
Tomando um ponto genérico na superfície , o quadrado da distância até
é
Tomando um ponto genérico na superfície
Passo 3
Vamos expandir e simplificar
. Primeiro expandimos os primeiros dois termos e somamos o último:
e
Somando tudo obtemos
Passo 4
Agrupando termos semelhantes:
Para simplificar a busca do mínimo, fatoramos
:
Definimos a função auxiliar
de modo que
. Minimizar
é equivalente a minimizar
.
Passo 5
Agora completamos quadrados em
(técnica simples para encontrar o mínimo de um polinômio quadrático de duas variáveis quando não há termos mistos
):\n
Para -parte:
.\n
Para -parte:
.\n
Substituindo em :
Para
Para
Substituindo em
Observe que
e
para todos
. Portanto o menor valor possível de
ocorre quando ambos os quadrados são zero, isto é, em
e
.\n
Nesse ponto o valor mínimo é
Nesse ponto o valor mínimo é
logo
e a distância mínima é
(apenas por curiosidade/checagem).
Passo 6
Como o ponto que minimiza está na superfície, calculamos a coordenada
correspondente usando
com
e
:
Portanto o ponto da superfície mais próximo de
é
.