(Problema - Distância Mínima) Encontre o ponto na superfície z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que está mais próximo do ponto (4,2,0).

Passo 1

O enunciado dá a superfície \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; e o ponto \;(4,2,0)\;. A pergunta é: qual é o ponto sobre a superfície \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; que está mais próximo do ponto \;(4,2,0)\;?\n
Informações relevantes:
\;x,\;y\; são coordenadas no plano e \;z\; é determinado pela superfície como \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;.\n
Procuramos um ponto \;(x,y,z)\; sobre a superfície (logo \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;) que minimize a distância ao ponto \;(4,2,0)\;.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): em 3D a distância entre dois pontos \;(x_1,y_1,z_1)\; e \;(x_2,y_2,z_2)\; é
\text{dist}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.
Para minimizar a distância é mais prático minimizar o quadrado da distância, porque a raiz quadrada é monótona crescente — o ponto que minimiza a distância também minimiza o quadrado da distância, mas trabalhar com o quadrado evita a raiz e simplifica as contas.\n
Tomando um ponto genérico na superfície \;(x,y,\sqrt{x^{2}+y^{2}})\;, o quadrado da distância até \;(4,2,0)\; é
d^{2}=(x-4)^{2}+(y-2)^{2}+\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-0\big)^{2}.

Passo 3

Vamos expandir e simplificar \;d^{2}\;. Primeiro expandimos os primeiros dois termos e somamos o último:
(x-4)^{2}=x^{2}-8x+16,\qquad (y-2)^{2}=y^{2}-4y+4,
e
\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)^{2}=x^{2}+y^{2}.
Somando tudo obtemos
d^{2}=(x^{2}-8x+16)+(y^{2}-4y+4)+(x^{2}+y^{2}).

Passo 4

Agrupando termos semelhantes:
d^{2}=2x^{2}-8x+2y^{2}-4y+20.
Para simplificar a busca do mínimo, fatoramos 2:
d^{2}=2\big(x^{2}-4x+y^{2}-2y+10\big).
Definimos a função auxiliar
f(x,y)=x^{2}-4x+y^{2}-2y+10,
de modo que \;d^{2}=2f(x,y)\;. Minimizar \;d^{2}\; é equivalente a minimizar \;f(x,y)\;.

Passo 5

Agora completamos quadrados em \;f(x,y)\; (técnica simples para encontrar o mínimo de um polinômio quadrático de duas variáveis quando não há termos mistos xy):\n
Para \;x-parte: \;x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4.\n
Para \;y-parte: \;y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.\n
Substituindo em \;f\;:
f(x,y)=(x-2)^{2}-4+(y-1)^{2}-1+10=(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+5.
Observe que (x-2)^{2}\ge 0 e (y-1)^{2}\ge 0 para todos x,y. Portanto o menor valor possível de f(x,y) ocorre quando ambos os quadrados são zero, isto é, em \;x=2\; e \;y=1.\n
Nesse ponto o valor mínimo é
f_{\min}=0+0+5=5,
logo
d^{2}_{\min}=2f_{\min}=2\cdot 5=10,
e a distância mínima é \;d_{\min}=\sqrt{10}\; (apenas por curiosidade/checagem).

Passo 6

Como o ponto que minimiza está na superfície, calculamos a coordenada \;z\; correspondente usando \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; com \;x=2\; e \;y=1\;:
z=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Portanto o ponto da superfície mais próximo de \;(4,2,0)\; é \;(2,1,\sqrt{5})\;.

Resposta

(2,1,\sqrt{5})

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