Questões sobre funções de duas variáveis.
Desenhe o mapa de contorno da função
para os níveis
.
Desenhe o mapa de contorno da função
Passo 1
O que o enunciado pede: desenhar o mapa de contorno (conjunto de curvas de nível) da função
para os níveis
.
Informações dadas pelo enunciado: a função é e os níveis (valores constantes) que queremos são
,
,
e
.
Observação importante que já vem do enunciado: a expressão tem divisão por , então pontos com
não pertencem ao domínio da função.
Informações dadas pelo enunciado: a função é
Observação importante que já vem do enunciado: a expressão tem divisão por
Passo 2
Definição de curva de nível e manipulação algébrica (passo-a-passo didático): a curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
tais que
. Então começamos por escrever essa igualdade:
Para isolar a relação entre
e
multiplicamos ambos os lados por
. Atenção: essa multiplicação só é legal se
— e, de fato,
está fora do domínio. Multiplicando:
Portanto, para cada
fixo temos a equação da reta que passa pela origem com coeficiente angular (declive) igual a
. Como o ponto
tem
, ele fica excluído do domínio; então a reta inteira passa pela origem, mas o ponto origem deve ser considerado não pertencente à curva de nível (um “buraco” no desenho).
Passo 3
Interpretação geométrica e como desenhar na prática: a equação
é a reta passando pela origem com inclinação
. No esboço de contorno faça o seguinte procedimento prático (passo a passo para desenhar à mão, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e . - Marque alguns pontos para cada reta usando
e (escolhas simples que dão pontos fáceis). Por exemplo, para um valor qualquer, os pontos serão e . - Trace a reta que passa por esses dois pontos.
- Em cada reta, marque a origem
com um círculo aberto para lembrar que esse ponto não pertence ao conjunto (porque não está no domínio).
Passo 4
Detalhe para
: substituindo em
obtemos
Pontos fáceis para plotar:
e
. Essa reta tem inclinação negativa (desce da esquerda para a direita) e atravessa os quadrantes II e IV. Lembre-se de deixar
como ponto excluído (círculo aberto).
Passo 5
Detalhe para
: substituindo em
obtemos
Isto é a própria reta do eixo
(a linha horizontal). Pontos fáceis:
e
. Porém, novamente, o ponto
deve aparecer como excluído (círculo aberto) porque
não pertence ao domínio de
.
Passo 6
Detalhe para
: substituindo em
obtemos
Pontos fáceis:
e
. Essa é a reta de 45° que atravessa os quadrantes I e III. Mostre a origem como excluída.
Passo 7
Detalhe para
: substituindo em
obtemos
Pontos fáceis:
e
. Essa é uma reta mais inclinada que
, atravessando I e III. Também marque a origem como excluída.
Passo 8
Instruções finais de rascunho do mapa de contorno (como organizar o desenho):
- No papel, trace as quatro retas obtidas:
, , e . - Para cada uma, trace a reta inteira, mas desenhe a origem
com um pequeno círculo aberto (não preenchido) para indicar que esse ponto não pertence à curva de nível. - Ao lado de cada reta escreva o valor de
correspondente (por exemplo, perto de um ponto coloque o rótulo “ ” etc.) para ficar claro qual reta corresponde a qual nível. - Se quiser diferenciar visualmente, use cores ou estilos de traço diferentes (contínuo para todas as retas, mas origin open circle em todas elas).