Questões sobre funções de duas variáveis.
Desenhe o mapa de contorno da função f(x, y)=y / x para os níveis k=-1,0,1,2.

Passo 1

O que o enunciado pede: desenhar o mapa de contorno (conjunto de curvas de nível) da função f(x,y)=\dfrac{y}{x} para os níveis k=-1,0,1,2.
Informações dadas pelo enunciado: a função é f(x,y)=\dfrac{y}{x} e os níveis (valores constantes) que queremos são k=-1, k=0, k=1 e k=2.
Observação importante que já vem do enunciado: a expressão tem divisão por x, então pontos com x=0 não pertencem ao domínio da função.

Passo 2

Definição de curva de nível e manipulação algébrica (passo-a-passo didático): a curva de nível para um valor k é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k. Então começamos por escrever essa igualdade:
\frac{y}{x}=k.
Para isolar a relação entre x e y multiplicamos ambos os lados por x. Atenção: essa multiplicação só é legal se x\neq 0 — e, de fato, x=0 está fora do domínio. Multiplicando:
y = kx,\qquad \text{com } x\neq 0.
Portanto, para cada k fixo temos a equação da reta que passa pela origem com coeficiente angular (declive) igual a k. Como o ponto (0,0) tem x=0, ele fica excluído do domínio; então a reta inteira passa pela origem, mas o ponto origem deve ser considerado não pertencente à curva de nível (um “buraco” no desenho).

Passo 3

Interpretação geométrica e como desenhar na prática: a equação y=kx é a reta passando pela origem com inclinação k. No esboço de contorno faça o seguinte procedimento prático (passo a passo para desenhar à mão, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque alguns pontos para cada reta usando x=1 e x=-1 (escolhas simples que dão pontos fáceis). Por exemplo, para um valor k qualquer, os pontos serão (1,k) e (-1,-k).
  3. Trace a reta que passa por esses dois pontos.
  4. Em cada reta, marque a origem (0,0) com um círculo aberto para lembrar que esse ponto não pertence ao conjunto (porque x=0 não está no domínio).

Passo 4

Detalhe para k=-1: substituindo em y=kx obtemos
y = -x.
Pontos fáceis para plotar: (1,-1) e (-1,1). Essa reta tem inclinação negativa (desce da esquerda para a direita) e atravessa os quadrantes II e IV. Lembre-se de deixar (0,0) como ponto excluído (círculo aberto).

Passo 5

Detalhe para k=0: substituindo em y=kx obtemos
y = 0.
Isto é a própria reta do eixo x (a linha horizontal). Pontos fáceis: (1,0) e (-1,0). Porém, novamente, o ponto (0,0) deve aparecer como excluído (círculo aberto) porque x=0 não pertence ao domínio de f.

Passo 6

Detalhe para k=1: substituindo em y=kx obtemos
y = x.
Pontos fáceis: (1,1) e (-1,-1). Essa é a reta de 45° que atravessa os quadrantes I e III. Mostre a origem como excluída.

Passo 7

Detalhe para k=2: substituindo em y=kx obtemos
y = 2x.
Pontos fáceis: (1,2) e (-1,-2). Essa é uma reta mais inclinada que y=x, atravessando I e III. Também marque a origem como excluída.

Passo 8

Instruções finais de rascunho do mapa de contorno (como organizar o desenho):
  • No papel, trace as quatro retas obtidas: y=-x, y=0, y=x e y=2x.
  • Para cada uma, trace a reta inteira, mas desenhe a origem (0,0) com um pequeno círculo aberto (não preenchido) para indicar que esse ponto não pertence à curva de nível.
  • Ao lado de cada reta escreva o valor de k correspondente (por exemplo, perto de um ponto (1,k) coloque o rótulo “ k=2” etc.) para ficar claro qual reta corresponde a qual nível.
  • Se quiser diferenciar visualmente, use cores ou estilos de traço diferentes (contínuo para todas as retas, mas origin open circle em todas elas).

Resposta

k=-1:\\ y=-x,\\ x\neq 0
k=0:\\ y=0,\\ x\neq 0
k=1:\\ y=x,\\ x\neq 0
k=2:\\ y=2x,\\ x\neq 0

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