Questão 1. ( 2,0 pontos) Calcule a derivada das funções definidas a seguir:
ponto
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é composta: um cosseno aplicado a uma razão
. - O denominador
pode anular-se quando ou . Isso significa que a função (e, portanto, sua derivada) só faz sentido nos pontos em que e . - A missão é obter
(a derivada em termos de ).
Passo 2
Estratégia (explicada aos poucos): como a função é um cosseno de uma outra função, vamos aplicar a regra da cadeia. Para usar essa regra, defino a função interna
de modo que
A regra da cadeia diz que, se
, então
Aqui eu explico: a derivada de
em relação a
é
; como
depende de
, multiplicamos por
(essa multiplicação é o núcleo da regra da cadeia). Um exemplo simples para fixar a ideia: se
, então
.
Passo 3
Agora precisamos calcular
, onde
Iremos usar a regra do quociente. A regra do quociente: se
com
, então
Aqui
e
. Vamos calcular
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula do quociente com
e
dados:
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Logo
Passo 5
Simplificação adicional: fatoro
do denominador quando conveniente. Observe que
então
Substituindo em
:
Agora podemos cancelar
no numerador e denominador, desde que
(e lembrando que a função original já não está definida em
):
Passo 6
Voltando à regra da cadeia: já tínhamos
Substituindo
e
, obtemos
Multiplicando os sinais:
válido para
e
(pontos onde a função original não está definida).