Questão 1. ( 2,0 pontos) Calcule a derivada das funções definidas a seguir:
(0,6 ponto ) f(x)=\cos \left(\frac{3 x}{x^{2}+4 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\cos\!\left(\frac{3x}{x^{2}+4x}\right).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é composta: um cosseno aplicado a uma razão \dfrac{3x}{x^{2}+4x}.
  • O denominador x^{2}+4x pode anular-se quando x=0 ou x=-4. Isso significa que a função (e, portanto, sua derivada) só faz sentido nos pontos em que x\neq 0 e x\neq -4.
  • A missão é obter f'(x) (a derivada em termos de x).

Passo 2

Estratégia (explicada aos poucos): como a função é um cosseno de uma outra função, vamos aplicar a regra da cadeia. Para usar essa regra, defino a função interna
u(x)=\frac{3x}{x^{2}+4x},
de modo que
f(x)=\cos\big(u(x)\big).
A regra da cadeia diz que, se f(x)=\cos(u(x)), então
f'(x)=\big(\cos(u(x))\big)' = -\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Aqui eu explico: a derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t); como t=u(x) depende de x, multiplicamos por u'(x) (essa multiplicação é o núcleo da regra da cadeia). Um exemplo simples para fixar a ideia: se g(x)=\cos(2x), então g'(x)=-\sin(2x)\cdot 2.

Passo 3

Agora precisamos calcular u'(x), onde
u(x)=\frac{3x}{x^{2}+4x}.
Iremos usar a regra do quociente. A regra do quociente: se u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} com w(x)\neq 0, então
u'(x)=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{\big(w(x)\big)^{2}}.
Aqui v(x)=3x e w(x)=x^{2}+4x. Vamos calcular v'(x) e w'(x):
v'(x)=3, \qquad w'(x)=2x+4.

Passo 4

Aplicando a fórmula do quociente com v e w dados:
u'(x)=\frac{3\cdot (x^{2}+4x) - 3x\cdot(2x+4)}{(x^{2}+4x)^{2}}.
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
3\cdot (x^{2}+4x)=3x^{2}+12x,
3x\cdot(2x+4)=6x^{2}+12x.
Subtraindo:
3x^{2}+12x - (6x^{2}+12x) = 3x^{2}+12x-6x^{2}-12x = -3x^{2}.
Logo
u'(x)=\frac{-3x^{2}}{(x^{2}+4x)^{2}}.

Passo 5

Simplificação adicional: fatoro x^{2} do denominador quando conveniente. Observe que
x^{2}+4x = x(x+4),
então
(x^{2}+4x)^{2} = x^{2}(x+4)^{2}.
Substituindo em u'(x):
u'(x)=\frac{-3x^{2}}{x^{2}(x+4)^{2}}.
Agora podemos cancelar x^{2} no numerador e denominador, desde que x\neq 0 (e lembrando que a função original já não está definida em x=0):
u'(x)=\frac{-3}{(x+4)^{2}},\qquad \text{para } x\neq 0,-4.

Passo 6

Voltando à regra da cadeia: já tínhamos
f'(x) = -\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=\dfrac{3x}{x^{2}+4x} e u'(x)=\dfrac{-3}{(x+4)^{2}}, obtemos
f'(x) = -\sin\!\left(\frac{3x}{x^{2}+4x}\right)\cdot\left(\frac{-3}{(x+4)^{2}}\right).
Multiplicando os sinais:
f'(x) = \frac{3\,\sin\!\left(\frac{3x}{x^{2}+4x}\right)}{(x+4)^{2}},
válido para x\neq 0 e x\neq -4 (pontos onde a função original não está definida).

Resposta

f'(x)=\frac{3\,\sin\!\left(\dfrac{3x}{x^{2}+4x}\right)}{(x+4)^{2}},\quad x\neq 0,\\ x\neq -4

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