Problema 1: Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por
, onde
é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?
Solução:
O objetivo é determinar o máximo e o mínimo absoluto da função
no intervalo
. Para isso, inicialmente calculamos a primeira derivada e igualamos-na a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, estes são os pontos críticos de
, ambos pertencentes ao intervalo
.
Para verificar se são pontos de máximo ou mínimo locais, usamos o teste da segunda derivada:
Para determinar os pontos de máximo e mínimo globais de
em
, precisamos comparar os valores que
assume nos pontos críticos, com os respectivos valores nos extremos do intervalo, pois como
é uma função contínua definida em um intervalo fechado, pode assumir seus valores máximo e mínimo globais ou nos pontos críticos, ou nos extremos do intervalo. Assim, temos:
Com isso concluímos que
é ponto de máximo global e
é ponto de mínimo global de
no intervalo de interesse [1,6]. Isso significa que o trânsito é mais rápido às 14 h , quando os carros passam pelo cruzamento a uma velocidade média de
e o trânsito é mais lento as 17 h , quando os carros passam pelo cruzamento a uma velocidade média de
.
Para verificar se são pontos de máximo ou mínimo locais, usamos o teste da segunda derivada:
Passo 1
O enunciado dá a função de velocidade média
onde
é o número de horas após o meio-dia, e pede o instante entre 13 h (
) e 18 h (
) em que o trânsito é mais rápido (máximo de
) e mais lento (mínimo de
).
Conteúdo: extremo global de função contínua em intervalo fechado via derivadas.
Conteúdo: extremo global de função contínua em intervalo fechado via derivadas.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada e achamos os pontos críticos:
Resolvendo
Ambos estão no intervalo
.
Passo 3
Para classificar esses pontos, usamos a segunda derivada:
Em
,
, indicando máximo local.
Em ,
, indicando mínimo local.
Em
Passo 4
Como
é contínua em
, os extremos globais ocorrem em
. Calculamos:
Passo 5
Comparando, o maior valor é
, e o menor é
.
Como corresponde a 14 h e
a 17 h, concluímos:
Como
Resposta
O trânsito é mais rápido às 14 h (
km/h) e mais lento às 17 h (
km/h).