Problema 1: Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por v(t)=t^3 -10,5 t^2+30 t+20 km / h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?

Solução:

O objetivo é determinar o máximo e o mínimo absoluto da função v(t) no intervalo 1 <= t <= 6. Para isso, inicialmente calculamos a primeira derivada e igualamos-na a zero para encontrar os pontos críticos:
v^prime(t)=3 t^2-21 t+30=0 Leftrightarrow t=2 ou t=5
Portanto, estes são os pontos críticos de v, ambos pertencentes ao intervalo (1,6).
Para verificar se são pontos de máximo ou mínimo locais, usamos o teste da segunda derivada:
r v^prime(t)=6 t-21 Rightarrow v^prime(2)=-9<0 Rightarrow t=2 é ponto de máximo local de v ; v^prime,(5)=9>0 Rightarrow t=5 é ponto de mínimo local de v éáéí
Para determinar os pontos de máximo e mínimo globais de v em [1,6], precisamos comparar os valores que v assume nos pontos críticos, com os respectivos valores nos extremos do intervalo, pois como v é uma função contínua definida em um intervalo fechado, pode assumir seus valores máximo e mínimo globais ou nos pontos críticos, ou nos extremos do intervalo. Assim, temos:
v(1)=40,5 v(2)=46 v(5)=32,5 v(6)=38
Com isso concluímos que t=2 é ponto de máximo global e t=5 é ponto de mínimo global de v no intervalo de interesse [1,6]. Isso significa que o trânsito é mais rápido às 14 h , quando os carros passam pelo cruzamento a uma velocidade média de 46 km / h e o trânsito é mais lento as 17 h , quando os carros passam pelo cruzamento a uma velocidade média de 32,5 km / h.

Passo 1

O enunciado dá a função de velocidade média
v(t)=t^3-10,5,t^2+30,t+20(km/h),
onde t é o número de horas após o meio-dia, e pede o instante entre 13 h ( t=1) e 18 h ( t=6) em que o trânsito é mais rápido (máximo de v) e mais lento (mínimo de v).
Conteúdo: extremo global de função contínua em intervalo fechado via derivadas.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e achamos os pontos críticos:
v'(t)=3t^2-21,t+30
Resolvendo
3t^2-21t+30=0 Longrightarrow t^2-7t+10=0 Longrightarrow t=2ou t=5
Ambos estão no intervalo [1,6].

Passo 3

Para classificar esses pontos, usamos a segunda derivada:
v''(t)=6t-21
Em t=2, v''(2)=6cdot2-21=-9<0, indicando máximo local.
Em t=5, v''(5)=6cdot5-21=9>0, indicando mínimo local.

Passo 4

Como v é contínua em [1,6], os extremos globais ocorrem em 1,2,5,6. Calculamos:
v(1)=1-10,5+30+20=40,5, v(2)=8-42+60+20=46,
v(5)=125-262,5+150+20=32,5, v(6)=216-378+180+20=38

Passo 5

Comparando, o maior valor é v(2)=46, e o menor é v(5)=32,5.
Como t=2 corresponde a 14 h e t=5 a 17 h, concluímos:

Resposta

O trânsito é mais rápido às 14 h ( v=46 km/h) e mais lento às 17 h ( v=32,5 km/h).

Exercícios relacionados