Questão 2. Calcule a derivada das seguintes funções:
f(t)=e^-t^2 sen(4 t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(t)=e^-t^2;sen(4t),
logo vamos aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia em cada fator.

Passo 2

Definimos g(t)=e^-t^2. Pela regra da cadeia, se u(t)=-t^2 então
g(t)=e^u(t), u'(t)=-2t,
e a derivada de g é
g'(t)=e^u(t)cdot u'(t)=e^-t^2cdot(-2t)=-2t,e^-t^2

Passo 3

Definimos h(t)=sen(4t). De novo pela regra da cadeia, se v(t)=4t então
h(t)=sen(v(t)), v'(t)=4,
e a derivada de h é
h'(t)=cos(v(t))cdot v'(t)=cos(4t)cdot4=4cos(4t)

Passo 4

Aplicando a regra do produto f'(t)=g'(t),h(t)+g(t),h'(t) obtemos
f'(t)=l(-2t,e^-t^2r)sen(4t) ;+; e^-t^2l(4cos(4t)r)
Fatorando e^-t^2, fica
f'(t)=e^-t^2l(-2tsen(4t)+4cos(4t)r)

Resposta

f'(t)=e^-t^2l(4cos(4t)-2tsen(4t)r)

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