Problema 2: Quando uma pessoa tosse, o raio da traquéia diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia. Se r0 é o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade v do ar e o raio r da traquéia é dada por uma função da forma v(r)=a r^2(r0-r), onde a é uma constante positiva. Determine o raio para o qual a velocidade do ar é máxima.
Solução:
O raio r da traquéia contraída não pode ser negativo, nem maior que o raio normal, r0. Assim, o objetivo é encontrar o máximo absoluto de v(r) no intervalo [0, r0] :
& v^prime(r)=2 a r(r0-r)+a r^2(-1)=a r(2 r0-3 r) & v^prime(r)=0 Leftrightarrow r1=0 ou r2=23 r0
Como r1=0 é um extremo do domínio, usamos o teste da segunda derivada apenas em r2 :
v^prime prime(r)=2 a(r0-3 r) Rightarrow v^prime prime(23 r0)=-2 a r0<0 Rightarrow r2=23 r0 é ponto de máximo local éá
Analisando o valor de v no máximo local e nos extremos do intervalo, temos:
v(0)=0, v(23 r0)=4 a27 r0^3 e v(r0)=0
Logo, o máximo global de v é atingido em r2=23 r0, o que significa que a velocidade do ar é máxima quando o raio da traquéia contraída é igual a 2 / 3 do seu raio normal.

Passo 1

O enunciado nos dá a função da velocidade do ar na traquéia contraída
v(r)=a,r^2l(r0-rr),
onde a>0 e o domínio físico é 0<= r<= r0. Queremos encontrar o valor de r que torna v(r) máxima. Para isso, vamos aplicar cálculo de derivadas:
  1. achar os pontos críticos pela condição v'(r)=0,
  2. usar o teste da segunda derivada para identificar máximos locais,
  3. comparar os valores de v nesses pontos e nos extremos do intervalo para garantir o máximo global.

Passo 2

Calculamos a derivada de v usando regra do produto e potência:
v'(r)=ddrl(a,r^2(r0-r)r) =2a,r,(r0-r)+a,r^2(-1) =a,r,(2r0-3r)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
v'(r)=a,r,(2r0-3r)=0 Longrightarrow r=0 ou r=23r0

Passo 4

Aplicamos o teste da segunda derivada para distinguir máximo ou mínimo em r=tfrac23r0:
v''(r)=ddrl[a,r,(2r0-3r)r] =a,(2r0-6r) =2a,(r0-3r)
Em r=tfrac23r0 vem
v''l(tfrac23r0r) =2al(r0-3cdottfrac23r0r) =-2a,r0<0,
logo é ponto de máximo local.

Passo 5

Por fim, comparamos os valores de v nos pontos críticos e nos extremos:
v(0)=0, v(r0)=0, vl(tfrac23r0r) =al(tfrac23r0r)^2l(r0-tfrac23r0r) =tfrac427,a,r0^3>0
Como esse é o maior valor, o máximo global ocorre em r=tfrac23r0.

Resposta

O raio que maximiza a velocidade do ar na traquéia é 23r0.

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