Problema 2: Quando uma pessoa tosse, o raio da traquéia diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia. Se
é o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade
do ar e o raio
da traquéia é dada por uma função da forma
, onde
é uma constante positiva. Determine o raio para o qual a velocidade do ar é máxima.
Solução:
O raio
da traquéia contraída não pode ser negativo, nem maior que o raio normal,
. Assim, o objetivo é encontrar o máximo absoluto de
no intervalo
:
Como
é um extremo do domínio, usamos o teste da segunda derivada apenas em
:
Analisando o valor de
no máximo local e nos extremos do intervalo, temos:
Logo, o máximo global de
é atingido em
, o que significa que a velocidade do ar é máxima quando o raio da traquéia contraída é igual a
do seu raio normal.
Solução:
O raio
Passo 1
O enunciado nos dá a função da velocidade do ar na traquéia contraída
onde
e o domínio físico é
. Queremos encontrar o valor de
que torna
máxima. Para isso, vamos aplicar cálculo de derivadas:
- achar os pontos críticos pela condição
, - usar o teste da segunda derivada para identificar máximos locais,
- comparar os valores de
nesses pontos e nos extremos do intervalo para garantir o máximo global.
Passo 2
Calculamos a derivada de
usando regra do produto e potência:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Passo 4
Aplicamos o teste da segunda derivada para distinguir máximo ou mínimo em
:
Em
vem
logo é ponto de máximo local.
Passo 5
Por fim, comparamos os valores de
nos pontos críticos e nos extremos:
Como esse é o maior valor, o máximo global ocorre em
.
Resposta
O raio que maximiza a velocidade do ar na traquéia é
.