Problema 7 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace da seguinte função, caso exista:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente tem uma função $ f(t) $ que vale 7 entre 0 e 1, e depois cai para 0. Vamos usar a definição da transformada de Laplace, que basicamente transforma uma função do tempo para uma função do número complexo $ s $. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a integral da definição da transformada na nossa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
Lf(t)(s) = integral0^infty f(t) e^-st dt
No nosso caso, a função $ f(t) $ é:
f(t)
Isso significa que, para calcular a transformada de Laplace dessa função, a gente só precisa considerar o intervalo de 0 a 1, já que fora desse intervalo a função é zero.

Passo 3

Vamos substituir $ f(t) $ na integral da transformada de Laplace:
f(t)
Agora, vamos resolver essa integral. Como 7 é uma constante, ela pode ser trazida para fora da integral:
Lf(t)(s) = integral0^1 7 cdot e^-st dt

Passo 4

A próxima etapa é integrar $ e^{-st} $ em relação a $ t $. A integral de $ e^{-st} $ é:
e^-st
Onde $ C $ é a constante de integração. Como vamos calcular uma integral definida de 0 a 1, podemos ignorar o $ C $.

Passo 5

Vamos agora calcular a integral de 0 a 1:
7 [ -1s e^-st ]0^1 = 7 ( -1s e^-s cdot 1 + 1s e^-s cdot 0 )
Simplificando:
7 ( -1s e^-s + 1s cdot 1 ) = 7 ( 1 - e^-ss )

Resposta

Lf(t)(s) = 7(1 - e^-s)s

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