Problema 7 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace da seguinte função, caso exista:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente tem uma função $ f(t) $ que vale 7 entre 0 e 1, e depois cai para 0. Vamos usar a definição da transformada de Laplace, que basicamente transforma uma função do tempo para uma função do número complexo $ s $. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a integral da definição da transformada na nossa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
No nosso caso, a função $ f(t) $ é:
Isso significa que, para calcular a transformada de Laplace dessa função, a gente só precisa considerar o intervalo de 0 a 1, já que fora desse intervalo a função é zero.
Passo 3
Vamos substituir $ f(t) $ na integral da transformada de Laplace:
Agora, vamos resolver essa integral. Como 7 é uma constante, ela pode ser trazida para fora da integral:
Passo 4
A próxima etapa é integrar $ e^{-st} $ em relação a $ t $. A integral de $ e^{-st} $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração. Como vamos calcular uma integral definida de 0 a 1, podemos ignorar o $ C $.
Passo 5
Vamos agora calcular a integral de 0 a 1:
Simplificando: