- PROBLEMA 1

Encontre o valor de \int_{\pi}^{3 \pi / 2}(6 \sin (2 w)-7 \cos w) d w
Resposta: 13

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi}^{3\pi/2}\bigl(6\sin(2w)-7\cos w\bigr)\,dw.
O conteúdo envolvido são integrais de funções trigonométricas básicas: precisamos saber como integrar \sin(2w) e \cos w.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, separamos em duas partes:
\int_{\pi}^{3\pi/2}\bigl(6\sin(2w)-7\cos w\bigr)\,dw =6\int_{\pi}^{3\pi/2}\sin(2w)\,dw \;-\;7\int_{\pi}^{3\pi/2}\cos w\,dw.

Passo 3

Sabemos que
\int \sin(2w)\,dw = -\tfrac12\cos(2w)+C, \qquad \int \cos w\,dw = \sin w + C.
Multiplicando pelos coeficientes, o antiderivado comum fica
F(w) = 6\Bigl(-\tfrac12\cos(2w)\Bigr)\;-\;7\sin w = -3\cos(2w)\;-\;7\sin w.

Passo 4

Agora avalia-mos F em w=3\pi/2 e em w=\pi:
F\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = -3\cos(3\pi)\;-\;7\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = -3\cdot(-1)\;-\;7\cdot(-1) = 3 + 7 = 10,
F(\pi) = -3\cos(2\pi)\;-\;7\sin(\pi) = -3\cdot1\;-\;7\cdot0 = -3.
Portanto, o valor da integral é
F\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)-F(\pi) = 10 - (-3) = 13.

Resposta

13

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