Problema 1: Esboçar o gráfico de
indicando todos os elementos importantes.
Passo 1
O enunciado pede o esboço de
, indicando domínio, interceptos, comportamentos em
, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. Para isso usaremos limites, derivadas primeira e segunda e análise de sinal.
Passo 2
Determinar domínio, interceptos e limites em
.
O domínio é todo o conjunto dos reais, pois para todo
.
O intercepto em ocorre em
:
O domínio é todo o conjunto dos reais, pois
O intercepto em
Não há outro intercepto em
.
Calculemos os limites:
Calculemos os limites:
Passo 3
Estudar monotonia e extremos usando a primeira derivada.
Escrevendo , temos
Escrevendo
Zerando o numerador, obtemos ponto crítico em
.
Para ,
(função crescente);
para ,
(função decrescente).
Logo há um máximo local em , com
Para
para
Logo há um máximo local em
Passo 4
Analisar concavidade e ponto de inflexão pela segunda derivada.
Partindo de , obtemos
Partindo de
O sinal muda em
. Para
,
(côncava para baixo); para
,
(côncava para cima). Assim há ponto de inflexão em
com
Passo 5
Identificar assíntotas e descrever o esboço final.
Não há assíntota vertical. A reta é assíntota horizontal à direita, pois
. À esquerda a função tende a
.
O gráfico parte de em
, cresce (côncavo para baixo) até cruzar a origem, atinge o máximo em
, continua decrescendo (ainda côncavo para baixo) até
, onde muda para côncavo para cima, e se aproxima de
vindo de cima.
Não há assíntota vertical. A reta
O gráfico parte de
Resposta
Domínio:
Intercepto:
,
(assíntota
)
Máximo local em
Ponto de inflexão em
Crescente em , decrescente em
Côncava para baixo em , côncava para cima em
Intercepto:
Máximo local em
Ponto de inflexão em
Crescente em
Côncava para baixo em