Problema 1: Esboçar o gráfico de f(x)=xe^x indicando todos os elementos importantes.

Passo 1

O enunciado pede o esboço de f(x)=dfracxe^x, indicando domínio, interceptos, comportamentos em pminfty, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão e assíntotas. Para isso usaremos limites, derivadas primeira e segunda e análise de sinal.

Passo 2

Determinar domínio, interceptos e limites em pminfty.
O domínio é todo o conjunto dos reais, pois e^xneq0 para todo x.
O intercepto em y ocorre em x=0:
f(0)=0e^0=0
Não há outro intercepto em x.
Calculemos os limites:
limxto-inftyxe^x=-infty,
limxto+inftyxe^x=0

Passo 3

Estudar monotonia e extremos usando a primeira derivada.
Escrevendo f(x)=x e^-x, temos
f'(x)=l(x e^-xr)' =e^-x-x e^-x =1-xe^x
Zerando o numerador, obtemos ponto crítico em x=1.
Para x<1, 1-x>0implies f'(x)>0 (função crescente);
para x>1, 1-x<0implies f'(x)<0 (função decrescente).
Logo há um máximo local em x=1, com
f(1)=1e

Passo 4

Analisar concavidade e ponto de inflexão pela segunda derivada.
Partindo de f'(x)=(1-x)e^-x, obtemos
f''(x)=l((1-x)e^-xr)' =-e^-x-(1-x)e^-x =(x-2)e^-x =x-2e^x
O sinal muda em x=2. Para x<2, f''(x)<0 (côncava para baixo); para x>2, f''(x)>0 (côncava para cima). Assim há ponto de inflexão em x=2 com
f(2)=2e^2

Passo 5

Identificar assíntotas e descrever o esboço final.
Não há assíntota vertical. A reta y=0 é assíntota horizontal à direita, pois limxto+inftyf(x)=0. À esquerda a função tende a -infty.
O gráfico parte de -infty em xto-infty, cresce (côncavo para baixo) até cruzar a origem, atinge o máximo em (1,1/e), continua decrescendo (ainda côncavo para baixo) até x=2, onde muda para côncavo para cima, e se aproxima de y=0 vindo de cima.

Resposta

Domínio: R
Intercepto: (0,0)
limxto -inftyf(x)=-infty, limxto+inftyf(x)=0 (assíntota y=0)
Máximo local em l(1,tfrac1er)
Ponto de inflexão em l(2,tfrac2e^2r)
Crescente em (-infty,1), decrescente em (1,+infty)
Côncava para baixo em (-infty,2), côncava para cima em (2,+infty)

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