Exercício 4 - Determinação de parâmetro para continuidade

Considere a função:
f(x, y)= a x^2 yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
  • Determine o valor do parâmetro a para que a função seja contínua em (0,0).
  • Justifique com base no limite da função no ponto.
Dica: Use coordenadas polares e iguale o limite ao valor da função no ponto.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= a x^2yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede o valor de a que torna f contínua em (0,0). Para isso precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
e igualar a f(0,0)=0.

Passo 2

Para estudar o limite em duas variáveis é conveniente usar coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta,
com r>=0 e thetain[0,2pi), de modo que (x,y)to(0,0) equivale a rto0.

Passo 3

Substituindo em a x^2yx^2+y^2 obtemos
f(r,theta) = a,(rcostheta)^2,(rsintheta)r^2cos^2theta + r^2sin^2theta = a,r^3cos^2thetasinthetar^2 = a,rcos^2thetasintheta

Passo 4

Note que
l|f(r,theta)r| = |a|,r,|cos^2thetasintheta| <= |a|,r
Como rto0 faz |a|,rto0 independentemente de theta, segue que
limrto0f(r,theta)=0

Passo 5

Para continuidade em (0,0) precisamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Vimos que o limite é sempre 0, sem restrição sobre a.

Resposta

A função é contínua em (0,0) para qualquer ainR.

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