Problema - Nos exercícios de (8) a (9), (i) calcule as séries de Fourier.
8)
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período 2L dada por f(x)=–L em (–L,0), f(0)=0 e f(x)=L em (0,L), e pede a série de Fourier. O conteúdo é séries de Fourier em intervalo simétrico, e vamos precisar das fórmulas dos coeficientes a₀, aₙ, bₙ e do fato de que funções ímpares têm só termos em seno.
Passo 2
Começamos lembrando as fórmulas gerais para período 2L:
Observamos que f(x) é ímpar, pois f(-x)=-f(x). Numa função ímpar temos automaticamente a0=0 e an=0 para todo n. Ou seja, só sobram os termos em seno.
Passo 4
Para calcular bn usamos
bn=1Lintegral-L^L f(x)sinl(tfracnpi xLr),dx
Como o produto de duas funções ímpares é par, podemos dobrar a integral de 0 a L e usar f(x)=L nesse intervalo, obtendo bn=2Lintegral0^L Lsinl(tfracnpi xLr),dx=2integral0^Lsinl(tfracnpi xLr),dx