Problema - Nos exercícios de (8) a (9), (i) calcule as séries de Fourier.
8) f(x)=rr-L, & -L

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 2L dada por f(x)=–L em (–L,0), f(0)=0 e f(x)=L em (0,L), e pede a série de Fourier. O conteúdo é séries de Fourier em intervalo simétrico, e vamos precisar das fórmulas dos coeficientes a₀, aₙ, bₙ e do fato de que funções ímpares têm só termos em seno.

Passo 2

Começamos lembrando as fórmulas gerais para período 2L:
a0=1Lintegral-L^L f(x),dx, an=1Lintegral-L^L f(x)cosl(tfracnpi xLr),dx, bn=1Lintegral-L^L f(x)sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 3

Observamos que f(x) é ímpar, pois f(-x)=-f(x). Numa função ímpar temos automaticamente a0=0 e an=0 para todo n. Ou seja, só sobram os termos em seno.

Passo 4

Para calcular bn usamos
bn=1Lintegral-L^L f(x)sinl(tfracnpi xLr),dx
Como o produto de duas funções ímpares é par, podemos dobrar a integral de 0 a L e usar f(x)=L nesse intervalo, obtendo
bn=2Lintegral0^L Lsinl(tfracnpi xLr),dx=2integral0^Lsinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 5

Resolvendo a integral:
$$2\int_{0}^L\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}L\bigr),dx=2\Bigl[-\frac{L}{n\pi}\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}L\bigr)\Bigr]_0^L=\frac{2L}{n\pi}\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr).
2integral0^Lsinl(tfracnpi xLr),dx=2l[-Lnpicosl(tfracnpi xLr)r]0^L=2Lnpil(1-cos(npi)r) b_n=\frac{2L}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr)=\begin{cases}0,&npar,\[6pt]\frac{4L}{n\pi},&nímpar.
\end{cases}$$

Passo 6

Substituindo na série de Fourier e lembrando que só há bn, escrevemos f(x) como soma dos senos de frequências ímpares:
$$f(x)=\sum_{m=1}^{\infty}b_{2m-1}\sin\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}L\bigr)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{4L}{(2m-1)\pi}\sin\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}L\bigr).
$$

Passo 7

Essa é a série de Fourier da função: f é ímpar e aparece apenas a soma de senos com coeficientes 4L/[(2m-1)pi].

Resposta

f(x)=summ=1^infty4L(2m-1)pi,sinl((2m-1)pi xLr)

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