Problema 7.4: Expansão e Compressão Isotérmica Reversível de Gás Ideal Três moles de um gás ideal a
expandem-se, isotérmica e reversivelmente. Calcule
e
em:
Uma compressão de
para
.
Uma compressão de
Passo 1
O enunciado pede para calcular os valores de
,
,
e
para um processo dado. Informações fornecidas:
- Quantidade de matéria:
mol. - Temperatura inicial (e final, porque o processo é isotérmico):
. (Vou usar a conversão para kelvin.) - Processo: expansão/compressão isotérmica e reversível.
- Volume inicial:
. - Volume final:
.
O enunciado descreve uma compressão depara . As quantidades pedidas são (calor trocado), (trabalho), (variação da energia interna) e (variação da entalpia).
Passo 2
Primeiro, organizar unidades e valores numéricos básicos.
- Converter temperatura para kelvin:
. - Volumes em unidades consistentes:
. Aqui a razão será adimensional então podemos usar diretamente os valores em ou em ; vou manter em para clareza: - Constante dos gases: vou usar
.
Passo 3
Explicar a física/termodinâmica relevante (passo-a-passo, didático):
-
Para um gás ideal, em processo isotérmico (temperatura constante) a energia interna depende só da temperatura. Logo, para um gás ideal:Vou explicar: a energia interna de um gás ideal monoatômico/de tamanho qualquer depende apenas de
; se não muda, . -
Primeira lei da termodinâmica (forma que vou usar):onde
é o calor trocado com o sistema e é o trabalho feito sobre o sistema. Observação importante: estou adotando a convenção química/física em que é o trabalho feito sobre o sistema (assim para compressão que entrega trabalho ao sistema). Essa é uma convenção comum em muitos livros de química física; com essa convenção a equação acima vale tal como escrita. -
Expressão do trabalho reversível em processo isotérmico de gás ideal:
- Trabalho (feito pelo sistema) para um processo reversível é
Para gás ideal em processo reversível, . Substituindo e integrando: - Mas como eu defini
como trabalho sobre o sistema, há mudança de sinal: Essa forma dá quando (compressão), como fisicamente esperado: trabalho é fornecido ao sistema durante a compressão.
- Trabalho (feito pelo sistema) para um processo reversível é
Passo 4
Aplicar a fórmula do trabalho ao nosso caso, simplificando a expressão:
- Primeiro simplificar a razão de volumes:
- Substituir na expressão de
: - Usar a identidade
. Assim: Ou seja, para uma compressão de fator (volume reduzido a um terço), o trabalho recebido pelo sistema é .
Passo 5
Calcular numericamente
:
- Calcular
: Vou fazer passo a passo: então - Agora multiplicar por
. Usar : - Arredondando de modo razoável (3 algarismos significativos), fica:
Interpretação física: trabalho positivo indica que, de fato, durante a compressão,
foram fornecidos ao gás (trabalho sobre o sistema).
Passo 6
Determinar
usando a primeira lei e o fato de
:
- Como explicado,
- Logo:
Interpretação: o calor é retirado do sistema (sinal negativo) no mesmo valor numérico do trabalho feito sobre ele, para manter a temperatura constante. Ou seja, para que a temperatura não suba com a compressão, o calor gerado pela compressão deve ser removido.
Passo 7
Calcular
e
e justificar por que são zero:
- Para gás ideal,
depende apenas de . Como o processo é isotérmico ( ): - A entalpia
do gás ideal também depende apenas da temperatura (para um gás ideal idealmente com função apenas de se constante). Assim, para processo isotérmico: - Confirmando com a relação entre
e : mas para variação em gás ideal a temperatura fixa dá variação nula em ambas as grandezas termodinâmicas dependentes de , levando .
Passo 8
Resumo dos valores calculados (preparação para a resposta final):
- Trabalho (sobre o sistema):
. - Calor trocado:
. - Variação da energia interna:
. - Variação da entalpia:
.