Problema 7.4: Expansão e Compressão Isotérmica Reversível de Gás Ideal Três moles de um gás ideal a 27{ }^{\circ} \mathrm{C} expandem-se, isotérmica e reversivelmente. Calcule Q, W, \Delta U e \Delta H em:
Uma compressão de 60 \mathrm{dm}^{3} para 20 \mathrm{dm}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os valores de Q, W, \Delta U e \Delta H para um processo dado. Informações fornecidas:
  • Quantidade de matéria: n=3 mol.
  • Temperatura inicial (e final, porque o processo é isotérmico): 27{ }^{\circ}\mathrm{C}. (Vou usar a conversão para kelvin.)
  • Processo: expansão/compressão isotérmica e reversível.
  • Volume inicial: V_i=60\\ \mathrm{dm}^3.
  • Volume final: V_f=20\\ \mathrm{dm}^3.
    O enunciado descreve uma compressão de 60\\ \mathrm{dm}^3 para 20\\ \mathrm{dm}^3. As quantidades pedidas são Q (calor trocado), W (trabalho), \Delta U (variação da energia interna) e \Delta H (variação da entalpia).

Passo 2

Primeiro, organizar unidades e valores numéricos básicos.
  • Converter temperatura para kelvin: T = 27{ }^{\circ}\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}.
  • Volumes em unidades consistentes: 1\\ \mathrm{dm}^3 = 1\\ \mathrm{L} = 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3. Aqui a razão V_f/V_i será adimensional então podemos usar diretamente os valores em \mathrm{dm}^3 ou em \mathrm{m}^3; vou manter em \mathrm{dm}^3 para clareza: V_i = 60\\ \mathrm{dm}^3,\qquad V_f = 20\\ \mathrm{dm}^3.
  • Constante dos gases: vou usar R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 3

Explicar a física/termodinâmica relevante (passo-a-passo, didático):
  1. Para um gás ideal, em processo isotérmico (temperatura constante) a energia interna depende só da temperatura. Logo, para um gás ideal:
    \Delta U = 0 \quad\text{quando}\quad \Delta T = 0.
    Vou explicar: a energia interna de um gás ideal monoatômico/de tamanho qualquer depende apenas de T; se T não muda, \Delta U=0.
  2. Primeira lei da termodinâmica (forma que vou usar):
    \Delta U = Q + W,
    onde Q é o calor trocado com o sistema e W é o trabalho feito sobre o sistema. Observação importante: estou adotando a convenção química/física em que W é o trabalho feito sobre o sistema (assim W>0 para compressão que entrega trabalho ao sistema). Essa é uma convenção comum em muitos livros de química física; com essa convenção a equação acima vale tal como escrita.
  3. Expressão do trabalho reversível em processo isotérmico de gás ideal:
    • Trabalho (feito pelo sistema) para um processo reversível é W_{\text{by}} = \int_{V_i}^{V_f} P\,dV.Para gás ideal em processo reversível, P = \dfrac{nRT}{V}. Substituindo e integrando: W_{\text{by}} = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
    • Mas como eu defini W como trabalho sobre o sistema, há mudança de sinal: W = -W_{\text{by}} = -nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).Essa forma dá W>0 quando V_f<V_i (compressão), como fisicamente esperado: trabalho é fornecido ao sistema durante a compressão.

Passo 4

Aplicar a fórmula do trabalho ao nosso caso, simplificando a expressão:
  • Primeiro simplificar a razão de volumes: \frac{V_f}{V_i} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}.
  • Substituir na expressão de W: W = -nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = -nRT\ln\!\left(\frac{1}{3}\right).
  • Usar a identidade \ln\!\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln 3. Assim: W = -nRT\bigl(-\ln 3\bigr) = nRT\ln 3.Ou seja, para uma compressão de fator 3 (volume reduzido a um terço), o trabalho recebido pelo sistema é nRT\ln 3.

Passo 5

Calcular numericamente W:
  • Calcular nRT: nRT = 3\cdot 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\cdot 300\\ \mathrm{K}.Vou fazer passo a passo: 8{,}314\times 300 = 2494{,}2\\ \mathrm{J\,mol^{-1}},então nRT = 3\times 2494{,}2 = 7482{,}6\\ \mathrm{J}.
  • Agora multiplicar por \ln 3. Usar \ln 3 \approx 1{,}0986123: W = 7482{,}6 \times 1{,}0986123 \approx 8220{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando de modo razoável (3 algarismos significativos), fica: W \approx 8{,}22\times 10^{3}\\ \mathrm{J} = 8{,}22\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação física: trabalho positivo indica que, de fato, durante a compressão, 8{,}22\\ \mathrm{kJ} foram fornecidos ao gás (trabalho sobre o sistema).

Passo 6

Determinar Q usando a primeira lei e o fato de \Delta U=0:
  • Como explicado, \Delta U = 0 = Q + W \quad\Rightarrow\quad Q = -W.
  • Logo: Q = -8{,}22\times 10^{3}\\ \mathrm{J} \approx -8{,}22\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: o calor é retirado do sistema (sinal negativo) no mesmo valor numérico do trabalho feito sobre ele, para manter a temperatura constante. Ou seja, para que a temperatura não suba com a compressão, o calor gerado pela compressão deve ser removido.

Passo 7

Calcular \Delta U e \Delta H e justificar por que são zero:
  • Para gás ideal, \Delta U depende apenas de \Delta T. Como o processo é isotérmico ( \Delta T=0): \Delta U = 0.
  • A entalpia H do gás ideal também depende apenas da temperatura (para um gás ideal idealmente H=C_P T com C_P função apenas de T se C_P constante). Assim, para processo isotérmico: \Delta H = 0.
  • Confirmando com a relação entre H e U: H = U + pV,mas para variação em gás ideal a temperatura fixa dá variação nula em ambas as grandezas termodinâmicas dependentes de T, levando \Delta H=0.

Passo 8

Resumo dos valores calculados (preparação para a resposta final):
  • Trabalho (sobre o sistema): W \approx 8{,}22\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado: Q = -W \approx -8{,}22\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
  • Variação da energia interna: \Delta U = 0.
  • Variação da entalpia: \Delta H = 0.

Resposta

Q = -8{,}22\times 10^{3}\\ \mathrm{J}
W = 8{,}22\times 10^{3}\\ \mathrm{J}
\Delta U = 0
\Delta H = 0

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