Problema: Quando uma força F atua em um objeto que se desloca uma certa distância d, ela realiza um trabalho definido como
W=F d
Explique as situações em que este trabalho é positivo, negativo e nulo.

Passo 1

O enunciado dá a definição do trabalho quando uma força atua sobre um objeto que se desloca:
W = F d
O que é pedido: explicar em que situações esse trabalho é positivo, negativo e nulo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a fórmula do trabalho e as grandezas envolvidas — F (força) e d (deslocamento). Não há números específicos nem figura; a explicação deve ser geral.

Passo 2

Para entender o sinal do trabalho é essencial ver força e deslocamento como vetores e usar a definição vetorial do trabalho. A definição vetorial correta é
W = \vec F \cdot \vec d = F\,d\,\cos\theta,
onde:
  • \vec F é o vetor força aplicado;
  • \vec d é o vetor deslocamento do ponto de aplicação da força;
  • F é o módulo de \vec F;
  • d é o módulo de \vec d;
  • \theta é o ângulo entre \vec F e \vec d (medido de modo que 0^\circ \le \theta \le 180^\circ).
Explicando passo a passo: o produto escalar \vec F\cdot\vec d pega a componente da força ao longo da direção do deslocamento e multiplica essa componente pela distância. Se eu decompor \vec F em componente paralela a \vec d e componente perpendicular, apenas a componente paralela contribui para o trabalho. Por isso aparece o fator \cos\theta.

Passo 3

Condicionante do sinal: o sinal de W vem do sinal de \cos\theta.
  • Se \cos\theta>0 então W>0.
  • Se \cos\theta<0 então W<0.
  • Se \cos\theta=0 então W=0.
Interpretação angular:
  • \cos\theta>0 \Longleftrightarrow 0^\circ \le \theta < 90^\circ.
  • \cos\theta<0 \Longleftrightarrow 90^\circ < \theta \le 180^\circ.
  • \cos\theta=0 \Longleftrightarrow \theta = 90^\circ.

Passo 4

Quando o trabalho é positivo — explicação e exemplos:
  • Situação matemática: W>0 quando 0^\circ \le \theta < 90^\circ, ou seja, quando a componente da força na direção do deslocamento aponta no mesmo sentido do deslocamento.
  • Interpretação física simples: a força está “empurrando” na direção do movimento, transferindo energia para o corpo (por exemplo, aumenta a energia cinética).
  • Exemplos concretos:
    • Empurrar um carrinho para frente: força e deslocamento têm mesmo sentido → trabalho positivo.
    • Levantar um objeto verticalmente para cima aplicando força para cima enquanto o objeto sobe → trabalho positivo da força aplicada.
  • Exemplo numérico rápido: se F=10\\ \text{N}, d=2\\ \text{m}, \theta=0^\circ então W = 10\cdot 2\cdot\cos 0^\circ = 20\\ \text{J}.

Passo 5

Quando o trabalho é negativo — explicação e exemplos:
  • Situação matemática: W<0 quando 90^\circ < \theta \le 180^\circ, ou seja, a componente da força ao longo do deslocamento aponta no sentido contrário ao deslocamento.
  • Interpretação física: a força retira energia do corpo (por exemplo, reduz a energia cinética); a força faz trabalho contra o movimento.
  • Exemplos concretos:
    • Força de atrito que age para trás enquanto o objeto se move para frente → trabalho negativo do atrito.
    • Freio aplicando força oposta ao movimento do veículo → trabalho negativo das forças de frenagem.
    • Segurar um objeto enquanto ele é abaixado: se a mão aplica força para cima mas o objeto desce, a força da mão realiza trabalho negativo (a energia é retirada do objeto; na prática isso pode transformar energia cinética em calor ou energia interna controlada).
  • Exemplo numérico rápido: F=10\\ \text{N}, d=2\\ \text{m}, \theta=180^\circ: W = 10\cdot 2\cdot\cos 180^\circ = 20\cdot(-1) = -20\\ \text{J}.

Passo 6

Quando o trabalho é nulo — explicação e exemplos:
  • Situação matemática: W=0 quando \cos\theta=0 (isto é, \theta = 90^\circ) ou quando F=0 ou d=0.
  • Interpretação física: a força é sempre perpendicular ao deslocamento, então não há componente da força na direção do movimento — a força não troca energia com o corpo nessa direção.
  • Exemplos concretos:
    • Força normal sobre um objeto que desliza horizontalmente: normal é vertical, deslocamento é horizontal → trabalho da normal é zero.
    • Força centrípeta que mantém um corpo em movimento circular uniforme: força sempre perpendicular à velocidade → trabalho da força centrípeta é zero.
    • Se não há deslocamento ( d=0), nenhum trabalho é realizado, mesmo com força aplicada (por exemplo, empurrar uma parede que não se move).
  • Exemplo numérico: F=10\\ \text{N}, d=2\\ \text{m}, \theta=90^\circ: W = 10\cdot 2\cdot\cos 90^\circ = 20\cdot 0 = 0\\ \text{J}.

Passo 7

Relação com energia e dica prática para prova:
  • Trabalho e energia: o teorema trabalho-energia diz que o trabalho total (soma dos trabalhos de todas as forças) sobre uma partícula é igual à variação da sua energia cinética: W_{\text{net}} = \Delta K.Assim, trabalho positivo costuma significar ganho de energia cinética, trabalho negativo significa perda.
  • Dica rápida para avaliar o sinal do trabalho em um exercício:
    1. Desenhe o vetor deslocamento \vec d.
    2. Desenhe o vetor força \vec F no mesmo diagrama.
    3. Observe se a componente de \vec F ao longo de \vec d aponta no mesmo sentido (positivo), sentido oposto (negativo) ou é nula (perpendicular → nulo).
    4. Se quiser, calcule \cos\theta e use W=F d \cos\theta.
  • Se a força varia ao longo do caminho, usar integral: W=\int_{\text{trajetória}} \vec F\cdot d\vec s.óO raciocínio sobre sinal é o mesmo, mas aplicado localmente ao longo do percurso.

Resposta

Trabalho positivo: quando a componente da força tem mesmo sentido do deslocamento, isto é, quando 0^\circ \le \theta < 90^\circ e portanto \cos\theta>0, pois
W=\vec F\cdot\vec d=F d\cos\theta>0.
Trabalho negativo: quando a componente da força tem sentido oposto ao deslocamento, isto é, quando 90^\circ<\theta\le 180^\circ e \cos\theta<0, então
W=F d\cos\theta<0.
Trabalho nulo: quando a força é perpendicular ao deslocamento ( \theta=90^\circ, \cos\theta=0), ou quando F=0 ou d=0; nesses casos
W=F d\cos\theta=0.

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