(a) Combine a equação de Torricelli com a segunda lei de Newton para mostrar que Conservação da Energia Mecânica.
\frac{m v_{f}^{2}}{2}-\frac{m v_{i}^{2}}{2}=F\left(x_{f}-x_{i}\right)
em que o primeiro e o segundo termos são as energias cinéticas final e inicial, respectivamente.
(b) Mostre que o trabalho realizado pela força da gravidade quando um objeto de massa m sai de uma altura inicial y_{i} e chega em uma altura final y_{f} é dado por
W_{g}=-m g y_{f}+m g y_{i} .

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
(a) Mostrar que, combinando a equação de Torricelli com a segunda lei de Newton, se obtém a relação
\frac{m v_{f}^{2}}{2}-\frac{m v_{i}^{2}}{2}=F\left(x_{f}-x_{i}\right).
(b) Mostrar que o trabalho da força da gravidade ao mover uma massa m de uma altura inicial y_{i} para uma altura final y_{f} é
W_{g}=-m g y_{f}+m g y_{i}.
Informações e símbolos dados ou implícitos:
  • m é a massa do corpo (constante).
  • v_{i} e v_{f} são as velocidades inicial e final, respectivamente.
  • x_{i} e x_{f} são as posições (em uma direção x) inicial e final, respectivamente.
  • a é a aceleração (assume-se constante para usar Torricelli).
  • F é a força resultante constante em direção de x (usada em (a)).
  • g é a aceleração da gravidade (constante), e adotaremos o eixo vertical y positivo para cima.
  • Fórmulas que vamos usar: equação de Torricelli para movimento retilíneo com aceleração constante e a segunda lei de Newton F=ma; definição de trabalho como integral de \vec F\cdot d\vec r.

Passo 2

Relembrando a equação de Torricelli (cinemática, válida para aceleração constante): ela relaciona velocidades e deslocamento sem envolver o tempo. A forma é
v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\left(x_{f}-x_{i}\right).
Aqui:
  • v_{i} é a velocidade inicial ao passar por x_{i}.
  • v_{f} é a velocidade final ao passar por x_{f}.
  • a é a aceleração constante ao longo do trajeto.
    Explicação curta de por que isso vale: parte das fórmulas básicas da cinemática são v=v_i+at e x=x_i+v_i t+\tfrac{1}{2}at^2. Eliminando t entre essas duas obtém-se a expressão de Torricelli acima. Não precisamos do detalhe da eliminação aqui, apenas que a fórmula é válida quando a é constante.

Passo 3

Segunda lei de Newton (para movimento unidimensional, força constante):
F = m a.
Aqui:
  • F é a força líquida na direção do eixo x (constante).
  • m é a massa do corpo.
  • a é a aceleração resultante (constante se F é constante).
    Essa lei diz que a aceleração é exatamente a força por unidade de massa: a=F/m.

Passo 4

Agora combine as duas fórmulas substituindo a da segunda lei na equação de Torricelli. A equação de Torricelli é
v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\left(x_{f}-x_{i}\right).
Substituindo a=\dfrac{F}{m} obtemos
v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2\left(\dfrac{F}{m}\right)\left(x_{f}-x_{i}\right).
Multiplicando ambos os lados por m para eliminar o denominador:
m v_{f}^{2}=m v_{i}^{2}+2F\left(x_{f}-x_{i}\right).
Agora subtrai m v_{i}^{2} de ambos os lados:
m v_{f}^{2}-m v_{i}^{2}=2F\left(x_{f}-x_{i}\right).
Finalmente, dividindo por 2:
\frac{m v_{f}^{2}}{2}-\frac{m v_{i}^{2}}{2}=F\left(x_{f}-x_{i}\right).
Interpretação física: cada termo \dfrac{m v^{2}}{2} é a energia cinética do corpo. O lado direito F\left(x_{f}-x_{i}\right) é o trabalho realizado pela força constante F ao longo do deslocamento \Delta x=x_f-x_i. Portanto a relação diz que a variação da energia cinética é igual ao trabalho da força — que é a forma da conservação (ou teorema) da energia mecânica quando só há essa força agindo.

Passo 5

Agora (b): vamos calcular o trabalho realizado pela força da gravidade usando a definição integral de trabalho. Definição geral do trabalho de uma força \vec F entre duas posições é
W=\int_{\vec r_{i}}^{\vec r_{f}}\vec F\cdot d\vec r.
Para gravidade, escolheremos eixo vertical y com sentido positivo para cima. A força peso é um vetor constante apontando para baixo:
\vec F_{g}=-m g\,\hat y.
O deslocamento ao mover o objeto de y_{i} para y_{f} é ao longo do eixo y, então d\vec r=dy\,\hat y. O produto escalar é
\vec F_{g}\cdot d\vec r = (-m g\,\hat y)\cdot(dy\,\hat y) = -m g\,dy.
Portanto o trabalho da gravidade é
W_{g}=\int_{y_{i}}^{y_{f}} -m g\,dy.
Como m e g são constantes, podemos tirar fora da integral:
W_{g} = -m g \int_{y_{i}}^{y_{f}} dy = -m g\bigl[y\bigr]_{y_{i}}^{y_{f}} = -m g\left(y_{f}-y_{i}\right).
Expandindo:
W_{g} = -m g y_{f} + m g y_{i},
que é exatamente o que se pedia.

Passo 6

Interpretação física e conexão com energia potencial (curto resumo didático):
  • A expressão encontrada em (b) pode ser escrita como
W_{g} = -\bigl(m g y_{f}-m g y_{i}\bigr) = -\Delta U_{g},
onde U_{g}(y)=m g y é a energia potencial gravitacional (com referência arbitrária). Ou seja, o trabalho da força peso é o negativo da variação da energia potencial gravitacional. Juntando isso com o resultado do Passo 4 (variação da energia cinética igual ao trabalho realizado pelas forças), obtém-se a conservação da energia mecânica quando a única força é conservativa (por exemplo, a gravidade): a soma K+U permanece constante.

Resposta

\dfrac{m v_{f}^{2}}{2}-\dfrac{m v_{i}^{2}}{2}=F\left(x_{f}-x_{i}\right)
W_{g}=-m g y_{f}+m g y_{i}

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