(a) Combine a equação de Torricelli com a segunda lei de Newton para mostrar que Conservação da Energia Mecânica.
em que o primeiro e o segundo termos são as energias cinéticas final e inicial, respectivamente.
(b) Mostre que o trabalho realizado pela força da gravidade quando um objeto de massa
sai de uma altura inicial
e chega em uma altura final
é dado por
(b) Mostre que o trabalho realizado pela força da gravidade quando um objeto de massa
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
(a) Mostrar que, combinando a equação de Torricelli com a segunda lei de Newton, se obtém a relação
(a) Mostrar que, combinando a equação de Torricelli com a segunda lei de Newton, se obtém a relação
(b) Mostrar que o trabalho da força da gravidade ao mover uma massa
de uma altura inicial
para uma altura final
é
Informações e símbolos dados ou implícitos:
-
é a massa do corpo (constante). -
e são as velocidades inicial e final, respectivamente. -
e são as posições (em uma direção ) inicial e final, respectivamente. -
é a aceleração (assume-se constante para usar Torricelli). -
é a força resultante constante em direção de (usada em (a)). -
é a aceleração da gravidade (constante), e adotaremos o eixo vertical positivo para cima. - Fórmulas que vamos usar: equação de Torricelli para movimento retilíneo com aceleração constante e a segunda lei de Newton
; definição de trabalho como integral de .
Passo 2
Relembrando a equação de Torricelli (cinemática, válida para aceleração constante): ela relaciona velocidades e deslocamento sem envolver o tempo. A forma é
Aqui:
-
é a velocidade inicial ao passar por . -
é a velocidade final ao passar por . -
é a aceleração constante ao longo do trajeto.
Explicação curta de por que isso vale: parte das fórmulas básicas da cinemática sãoe . Eliminando entre essas duas obtém-se a expressão de Torricelli acima. Não precisamos do detalhe da eliminação aqui, apenas que a fórmula é válida quando é constante.
Passo 3
Segunda lei de Newton (para movimento unidimensional, força constante):
Aqui:
-
é a força líquida na direção do eixo (constante). -
é a massa do corpo. -
é a aceleração resultante (constante se é constante).
Essa lei diz que a aceleração é exatamente a força por unidade de massa:.
Passo 4
Agora combine as duas fórmulas substituindo
da segunda lei na equação de Torricelli. A equação de Torricelli é
Substituindo
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora subtrai
de ambos os lados:
Finalmente, dividindo por
:
Interpretação física: cada termo
é a energia cinética do corpo. O lado direito
é o trabalho realizado pela força constante
ao longo do deslocamento
. Portanto a relação diz que a variação da energia cinética é igual ao trabalho da força — que é a forma da conservação (ou teorema) da energia mecânica quando só há essa força agindo.
Passo 5
Agora (b): vamos calcular o trabalho realizado pela força da gravidade usando a definição integral de trabalho. Definição geral do trabalho de uma força
entre duas posições é
Para gravidade, escolheremos eixo vertical
com sentido positivo para cima. A força peso é um vetor constante apontando para baixo:
O deslocamento ao mover o objeto de
para
é ao longo do eixo
, então
. O produto escalar é
Portanto o trabalho da gravidade é
Como
e
são constantes, podemos tirar fora da integral:
Expandindo:
que é exatamente o que se pedia.
Passo 6
Interpretação física e conexão com energia potencial (curto resumo didático):
- A expressão encontrada em (b) pode ser escrita como
onde
é a energia potencial gravitacional (com referência arbitrária). Ou seja, o trabalho da força peso é o negativo da variação da energia potencial gravitacional. Juntando isso com o resultado do Passo 4 (variação da energia cinética igual ao trabalho realizado pelas forças), obtém-se a conservação da energia mecânica quando a única força é conservativa (por exemplo, a gravidade): a soma
permanece constante.