PROBLEMA 5
Se \int \frac{2+w^{4}}{w^{3}+9 w} d w=\frac{A}{2} w^{2}+\frac{B}{9} \ln |w|-\frac{C}{18}+K, em que K é uma constante, determine o valor de A+B+C.
Resposta: A=1, B=2, C=83 e A+B+C=86.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int \frac{2+w^{4}}{w^{3}+9w}\,dw
e expressar o resultado na forma
\frac{A}{2}w^{2} \;+\;\frac{B}{9}\ln|w|\;-\;\frac{C}{18}\ln\bigl(w^{2}+9\bigr)\;+\;K.
O conteúdo é integração de função racional e vamos usar divisão de polinômios seguida de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão de w^{4}+2 por w^{3}+9w:
\frac{w^{4}+2}{w^{3}+9w} = w \;+\;\frac{-9w^{2}+2}{w\,(w^{2}+9)}.

Passo 3

Decompondo o resto em frações parciais: queremos
\frac{-9w^{2}+2}{w(w^{2}+9)} = \frac{A}{w} + \frac{Bw + C}{w^{2}+9}.
Multiplicando por w(w^{2}+9) obtemos
-9w^{2}+2 = A(w^{2}+9) + (Bw+C)\,w = (A+B)w^{2} + Cw + 9A.

Passo 4

Igualando coeficientes em
(A+B)w^{2} + Cw + 9A = -9w^{2} + 0\cdot w + 2
vemos que
A + B = -9,\quad C = 0,\quad 9A = 2
Logo
A = \tfrac{2}{9},\quad B = -9 - \tfrac{2}{9} = -\tfrac{83}{9},\quad C = 0.

Passo 5

Reescrevendo o integrando:
\frac{2+w^{4}}{w^{3}+9w} = w + \frac{2/9}{w} \;-\;\frac{83/9\,w}{w^{2}+9}.
Integramos termo a termo:
\int w\,dw = \frac{w^{2}}{2},\qquad \int \frac{2/9}{w}\,dw = \frac{2}{9}\ln|w|,\qquad \int \frac{w}{w^{2}+9}\,dw = \frac{1}{2}\ln\bigl(w^{2}+9\bigr).
Portanto
\int \frac{2+w^{4}}{w^{3}+9w}\,dw = \frac{w^{2}}{2} + \frac{2}{9}\ln|w| - \frac{83}{18}\ln\bigl(w^{2}+9\bigr) + K.

Passo 6

Comparando com a forma
\frac{A}{2}w^{2} + \frac{B}{9}\ln|w| - \frac{C}{18}\ln\bigl(w^{2}+9\bigr) + K
vemos que A=1, B=2 e C=83. Logo
A+B+C = 1+2+83 = 86.

Resposta

86

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