Em cada um dos itens a seguir, use a Definição da Transformada de Laplace para encontrar mathcal{L}{f(t)}}.
f(t)=10 \cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t) = 10 \cos\!\bigl(\tfrac{\pi t}{6}\bigr).
O que precisamos é aplicar a definição
\mathcal{L}\{f(t)\} \;=\;\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt.

Passo 2

Escrevendo diretamente com f(t)=10\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{6}\bigr), temos
\mathcal{L}\{10\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{6}\bigr)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,10\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{6}\bigr)\,dt = 10 \int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{6}\bigr)\,dt.

Passo 3

Para avaliar
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(\omega t)\,dt
usamos \cos(\omega t)=\Re(e^{i\omega t}). Então
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(\omega t)\,dt = \Re\!\Bigl[\int_{0}^{\infty} e^{-(s - i\omega)t}\,dt\Bigr] = \Re\!\Bigl[\tfrac{1}{s - i\omega}\Bigr] = \frac{s}{s^{2} + \omega^{2}}.
Aqui \omega = \tfrac{\pi}{6}, logo
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{6}\bigr)\,dt = \frac{s}{s^{2} + \bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)^{2}} = \frac{s}{s^{2} + \tfrac{\pi^{2}}{36}}.

Passo 4

Bast a multiplicar por 10:
\mathcal{L}\{10\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{6}\bigr)\} = 10 \cdot \frac{s}{s^{2} + \tfrac{\pi^{2}}{36}} = \frac{10\,s}{s^{2} + \tfrac{\pi^{2}}{36}}.

Resposta

\mathcal{L}\{10\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{6}\bigr)\} = \frac{10\,s}{s^{2} + \tfrac{\pi^{2}}{36}}.

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