1. Problema
    \int_{0}^{2} \int_{0}^{x} f(x, y) d y d x=\int_{0}^{2} \int_{0}^{y} f(x, y) d x d y
    Verdadeiro Falso

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade proposta entre duas integrais iteradas
\int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{x} f(x,y)\,dy\,dx \quad\text{e}\quad \int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{y} f(x,y)\,dx\,dy
e nos pede para avaliar se ela vale para toda função f(x,y). O conteúdo aqui é integrais duplas e a troca de ordem de integração segundo o Teorema de Fubini, lembrando que ao trocar a ordem os limites mudam de acordo com a região de integração.

Passo 2

Interpretamos cada iterada como uma integral dupla sobre uma região do plano (x,y).
O primeiro termo integra sobre
D_1 = \{(x,y)\mid 0\le y\le x\le 2\},
isto é, o triângulo abaixo do grafo de y=x entre x=0 e x=2.
O segundo termo integra sobre
D_2 = \{(x,y)\mid 0\le x\le y\le 2\},
que é o triângulo acima da reta y=x no mesmo intervalo.

Passo 3

Como D_1 e D_2 são regiões distintas (disjuntas, que juntas formam o quadrado [0,2]\times[0,2]), em geral
\iint_{D_1}f(x,y)\,dA \neq \iint_{D_2}f(x,y)\,dA
para uma função arbitrária f. A troca de ordem de integração só preserva o valor se a região de integração for a mesma ou se f tiver alguma simetria especial não indicada no enunciado.

Resposta

Falso

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