Questão 1. Considere a função f amostrada em N=4 pontos, dada pelo vetor \mathbf{f}=[1,2,-1,0]^{T}. Determine o coeficiente de Fourier c_{3} da transformada discreta de Fourier, utilizando a relação matricial \mathbf{c}=\frac{1}{N} \overline{F_{N}} \mathbf{f}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência amostrada em N=4 pontos
\mathbf{f} = \begin{bmatrix}1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ 0\end{bmatrix}
e pede o coeficiente c_{3} da DFT, usando a relação matricial
\mathbf{c} = \frac{1}{N}\,\overline{F_{N}}\,\mathbf{f}.
Aqui vamos aplicar a fórmula da DFT normalizada, que converte a sequência \{f_{n}\} em \{c_{k}\}.

Passo 2

A relação matricial equivale à expressão escalar, para cada k=0,1,2,3:
c_{k} = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f_{n}\,e^{-j\,2\pi\,k\,n/N}.
Neste caso, N=4, f_{0}=1, f_{1}=2, f_{2}=-1, f_{3}=0.

Passo 3

Escrevemos c_{3} pela soma de n=0 a 3:
c_{3} = \frac{1}{4}\Bigl(f_{0}e^{-j\,2\pi\,3\cdot0/4} \;+\; f_{1}e^{-j\,2\pi\,3\cdot1/4} \;+\; f_{2}e^{-j\,2\pi\,3\cdot2/4} \;+\; f_{3}e^{-j\,2\pi\,3\cdot3/4}\Bigr).

Passo 4

Calculamos cada termo exponencial:
e^{-j\,2\pi\,3\cdot0/4}=1, \quad e^{-j\,2\pi\,3/4}=e^{-j3\pi/2}=j,
e^{-j\,2\pi\,3\cdot2/4}=e^{-j3\pi}=-1, \quad e^{-j\,2\pi\,3\cdot3/4}=e^{-j9\pi/2}=e^{-j\pi/2}=-j.
Substituindo:
c_{3} = \frac{1}{4}\bigl(1\cdot1 + 2\cdot j + (-1)\cdot(-1) + 0\cdot(-j)\bigr) = \frac{1}{4}(1 + 2j + 1) = \frac{1}{4}(2 + 2j).

Passo 5

Fatorando e simplificando:
c_{3} = \frac{2 + 2j}{4} = \frac{1}{2} + \frac{j}{2}.

Resposta

c_{3} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{j}{2}.

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