Sejam \vec{u}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) e \vec{v}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) vetores do espaço. Mostre que esses vetores são colineares se, e somente se,
x_{1} y_{2} x_{2} y_{1}=x_{1} z_{2} x_{2} z_{1}=y_{1} z_{2} y_{2} z_{1}=0 .
Vale notar que estes números acima são os determinantes das submatrizes 2 \times 2 da matriz 3 \times 2
\left[\begin{array}{lll} x_{1} & y_{1} & z_{1} \\\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma equivalência “se, e somente se”: devemos provar que os vetores \vec{u}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e \vec{v}=(x_{2},y_{2},z_{2}) são colineares exatamente quando os três determinantes das submatrizes 2\times2 da matriz
\begin{bmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1} \\\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{bmatrix}
são nulos. As três igualdades que aparecem no enunciado (vou escrever com o sinal de menos, pois são determinantes) são:
x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0,
x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}=0,
y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}=0.
Informações relevantes dadas:
  • Os vetores \vec{u} e \vec{v} têm coordenadas x_i,y_i,z_i para i=1,2.
  • Devemos provar a equivalência entre “colinearidade” e as três igualdades acima.

Passo 2

Definição prática de colinearidade que vamos usar (explicando como aplicar na prova): diremos que \vec{u} e \vec{v} são colineares quando existe um escalar \lambda tal que
\vec{u}=\lambda\vec{v}.
Isso quer dizer, coordenada a coordenada,
x_{1}=\lambda x_{2},\quad y_{1}=\lambda y_{2},\quad z_{1}=\lambda z_{2}.
Agora mostro a implicação direta: se \vec{u}=\lambda\vec{v} então cada um dos determinantes é zero. Seja \lambda\in\mathbb{R} (ou no corpo que estivermos trabalhando) com \vec{u}=\lambda\vec{v}. Então
x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=(\lambda x_{2})y_{2}-x_{2}(\lambda y_{2})=\lambda x_{2}y_{2}-\lambda x_{2}y_{2}=0.
Do mesmo modo,
x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}=(\lambda x_{2})z_{2}-x_{2}(\lambda z_{2})=0,
y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}=(\lambda y_{2})z_{2}-y_{2}(\lambda z_{2})=0.
Portanto, a colinearidade implica que os três determinantes são nulos. (Essa parte é direta: multiplicar uma linha por \lambda torna cada determinante formado por duas colunas proporcional, anulando o ad-bc.)

Passo 3

Agora a implicação recíproca: suponha que
x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0,\qquad x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}=0,\qquad y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}=0.
Queremos mostrar que existe \lambda tal que \vec{u}=\lambda\vec{v}.
Primeiro caso simples: se \vec{v}=(x_{2},y_{2},z_{2})=(0,0,0) (o vetor nulo), então qualquer vetor \vec{u} é colinear com \vec{v} somente se \vec{u}=(0,0,0). Olhando as igualdades, se \vec{v}=0 então todas as três expressões trivially são 0, e a afirmação do enunciado admite que \vec{u} e \vec{v} são colineares no sentido de \vec{u}=\lambda\vec{v} com \lambda indefinido — a convenção usual é que o vetor nulo é colinear com todo vetor, mas para a equivalência prática que queremos, tratamos o caso \vec{v}=0 separadamente: se \vec{v}=0 então as igualdades são satisfeitas e \vec{u} e \vec{v} são colineares (pois \vec{u}=0\cdot\vec{v} se e só se \vec{u}=0; se quisermos a afirmação para vetores não nulos, a prova abaixo cobre esse caso).
Melhor abordagem: tratar \vec{v}\neq 0 (se \vec{v}=0 a prova é trivial como comentei). Como \vec{v}\neq 0, pelo menos uma das coordenadas x_{2},y_{2},z_{2} é não nula. Vamos considerar três subcasos, escolhendo uma coordenada não nula para definir \lambda sem divisão por zero.
Subcaso A: x_{2}\neq 0. Defina
\lambda=\frac{x_{1}}{x_{2}}.
Usando a primeira igualdade x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0, temos
x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}.
Dividindo ambos os lados por x_{2} (permitido porque x_{2}\neq 0) obtemos
\frac{x_{1}}{x_{2}}\,y_{2}=y_{1},
ou seja
y_{1}=\lambda y_{2}.
Usando a segunda igualdade x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}=0 e o mesmo \lambda,
x_{1}z_{2}=x_{2}z_{1}\quad\Rightarrow\quad \frac{x_{1}}{x_{2}}\,z_{2}=z_{1},
ou seja
z_{1}=\lambda z_{2}.
Portanto x_{1}=\lambda x_{2},\,y_{1}=\lambda y_{2},\,z_{1}=\lambda z_{2}, e isto significa exatamente \vec{u}=\lambda\vec{v}: colinearidade demonstrada no subcaso A.
Subcaso B: x_{2}=0 mas y_{2}\neq 0. Agora definimos
\lambda=\frac{y_{1}}{y_{2}}.
A primeira igualdade x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0 com x_{2}=0 fica
x_{1}y_{2}=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}=0
(pois y_{2}\neq 0). Assim x_{1}=\lambda x_{2} porque ambos são zero. A terceira igualdade y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}=0
y_{1}z_{2}=y_{2}z_{1}\quad\Rightarrow\quad \frac{y_{1}}{y_{2}}\,z_{2}=z_{1},
ou seja z_{1}=\lambda z_{2}. Logo x_{1}=\lambda x_{2},\,y_{1}=\lambda y_{2},\,z_{1}=\lambda z_{2} e obtemos \vec{u}=\lambda\vec{v}.
Subcaso C: x_{2}=0 e y_{2}=0. Como \vec{v}\neq 0, isso força z_{2}\neq 0. Defina
\lambda=\frac{z_{1}}{z_{2}}.
Pela segunda igualdade x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}=0 com x_{2}=0 segue x_{1}z_{2}=0, assim x_{1}=0. Pela terceira igualdade y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}=0 com y_{2}=0 segue y_{1}z_{2}=0, assim y_{1}=0. Portanto x_{1}=\lambda x_{2} e y_{1}=\lambda y_{2} (pois todos os lados correspondentes são zero) e por definição z_{1}=\lambda z_{2}. Novamente \vec{u}=\lambda\vec{v}.
Esses subcasos cobrem todas as possibilidades quando \vec{v}\neq 0. Assim, a hipótese de que as três determinantes são zero implica que existe \lambda tal que \vec{u}=\lambda\vec{v}; ou seja, \vec{u} e \vec{v} são colineares.

Passo 4

Resumo do argumento e interpretação didática: o determinante 2\times2
\begin{vmatrix} a & b \\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc
é zero exatamente quando os pares (a,c) e (b,d) são proporcionais (isto é, quando existe \lambda com a=\lambda c e b=\lambda d), desde que pelo menos uma coordenada do segundo par seja não nula (casos com zeros são tratados separadamente como fizemos). Aplicando isso às três escolhas de pares de coordenadas (x,y), (x,z) e (y,z) da matriz dada, obtemos a equivalência desejada entre “todos os determinantes 2\times2 nulos” e “as coordenadas de \vec{u} são todas proporcionais às de \vec{v}”, ou seja, colinearidade.

Resposta

x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0
x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}=0
y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}=0

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