Problema 1 (
pt) Considere uma barra fina, de comprimento
e densidade linear de carga dada por
(
é uma constante), colocada ao longo do eixo
, com a extremidade esquerda em
. Responda:
a) Se a carga total na barra é
, determine
.
b) Calcule o potencial elétrico em um ponto
ao longo do eixo
, a uma distância
da ponta direita da barra.
c) Usando a aproximação
(válida quando
), determine o comportamento (NÃO o valor) da expressão acima quando
, em termos de
e
. Comente seu resultado.
a) Se a carga total na barra é
b) Calcule o potencial elétrico em um ponto
c) Usando a aproximação
Passo 1
O enunciado dá uma barra fina ao longo do eixo
que vai de
até
. A densidade linear de carga é
As perguntas são:
- (a) Se a carga total na barra é
, determinar . - (b) Calcular o potencial elétrico em um ponto
sobre o eixo , situado a uma distância da ponta direita da barra (ou seja, está em ). - (c) Usando a aproximação
para , determinar o comportamento da expressão do potencial quando , em termos de e , e comentar o resultado.
Listei claramente o que é pedido e as informações dadas; a resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Relembrando a definição de carga total para densidade linear: se
é a carga por unidade de comprimento, um elemento de carga numa posição
é
A carga total
na barra é a integral de
sobre o intervalo
:
Usaremos isso para encontrar
. Esta fórmula vem da ideia simples: somar (integrar) as pequenas cargas
ao longo da barra.
Passo 3
Calcular a carga total substituindo
:
Para resolver esta integral, usar a regra básica
. Assim,
Isolando
obtemos
Isto responde a) e faz sentido dimensional:
tem unidade de carga por comprimento ao quadrado, porque
tem unidade de carga por comprimento.
Passo 4
Agora vamos ao potencial no ponto
em
. Lembrando a expressão do potencial elétrico produzido por um elemento de carga
num meio com constante dielétrica do vácuo
:
onde
é a distância entre o elemento
e o ponto
. Para a barra e o ponto dados, um elemento em posição
(com
) está a uma distância
Substituindo
, o potencial total é
Explico: somamos (integramos) as contribuições
de cada pedaço da barra; o sinal é positivo pois estamos somando potencias escalares (assumindo referência no infinito com
).
Passo 5
Vamos calcular a integral
Para integrar, é conveniente fazer a mudança de variável
, então
e
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Separando a fração:
Então
Calculando as integrais conhecidas:
Portanto
Passo 6
Voltando ao potencial, lembrando o fator
e a constante
:
Substituindo
(resultado do Passo 3) para escrever
em termos de
, obtemos
Isto responde b). Observação física rápida: a expressão é finita para todo
; se
o potencial diverge logarítmicamente devido à proximidade com cargas locais (como esperado para distribuição contínua).
Passo 7
Agora o item (c): comportamento quando
. Defina
, então
. Reescrevemos a parte entre colchetes:
Usando a expansão
, e mantendo apenas o termo linear em
porque
, temos
Multiplicando por
e subtraindo
, o termo linear em
cancela:
Em termos de
e
, isso é
Fazendo a expansão com cuidado até a ordem necessária (usar
) obtém-se
Substituindo na expressão de
,
Logo, para
,
Nota didática curta sobre a expansão: o termo linear em
cancela exatamente com o
presente, por isso é necessário ir até o termo de ordem
na expansão do logaritmo para obter o primeiro termo não-nulo do resultado; o cálculo que mostrei dá o fator
necessário para que a combinação resulte em
.
Passo 8
Interpretação física (comentário pedido em (c)): o comportamento
significa que, visto de muito longe (
), a barra carregada se comporta eletricamente como uma carga pontual de módulo
localizada aproximadamente no seu centro — ou mais precisamente, a contribuição dominante do potencial é o termo monopolar (soma de todas as cargas) que decai como
. Isso é um resultado geral: distribuições de carga vistas de muito longe aparecem como cargas pontuais com carga total igual à soma das cargas.
Força de incentivo: tranquilo — mesmo que a integral pareça chata, o passo-chave é escrever
e aplicar a fórmula do potencial; a mudança de variável simplifica muito a integral.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para
: