Problema 3 (
pt) Uma esfera condutora de raio
é carregada com uma carga
e isolada. No interior desta esfera há uma cavidade esférica excêntrica dentro da qual uma carga
é colocada em um ponto arbitrário.
Calcule a densidade superficial de carga da esfera condutora.
Calcule a densidade superficial de carga da esfera condutora.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei a figura enviada):
- Uma esfera condutora de raio
está isolada e tem carga total . - No interior desta esfera há uma cavidade esférica excêntrica; dentro da cavidade foi colocada uma carga pontual
em um ponto arbitrário. - O enunciado informa que
. - O que se pede: calcular a densidade superficial de carga da esfera condutora (ou seja, a densidade superficial na superfície externa esférica de raio
).
Passo 2
Entender uma propriedade essencial dos condutores em equilíbrio eletrostático: o campo elétrico no interior do material condutor é nulo (
dentro do metal). Vou usar isso para relacionar as cargas induzidas nas superfícies internas e externas.
- Considere uma superfície gaussiana fixa dentro do metal, imediatamente por dentro da parte sólida do condutor que envolve a cavidade. Nessa superfície gaussiana o campo é zero, logo o fluxo elétrico é zero.
- Pelo Teorema de Gauss, fluxo zero implica carga total encerrada pela superfície gaussiana igual a zero.
- O que está encerrado por essa superfície gaussiana é a carga pontual
que está na cavidade mais a carga que ficou na superfície interna da cavidade (essa carga faz parte do condutor).
Passo 3
Calcular a carga na superfície interna da cavidade:
- Pela condição do passo anterior, a soma das cargas encerradas é zero:
- Portanto a carga na superfície interna da cavidade é
Isto é um resultado importante e geral: uma carga
colocada numa cavidade de um condutor induz uma carga
na superfície interna da cavidade, independentemente da posição de
dentro da cavidade.
Passo 4
Determinar a carga na superfície externa do condutor:
- O condutor inteiro (a parte metálica) tinha carga total dada
. Essa carga total distribui-se apenas nas superfícies (superfície interna da cavidade e superfície externa), porque no interior do metal o campo é zero e não há carga volumétrica adicional. - Logo:
- Substituindo
obtém-se:
- Com o valor dado
, tem-se:
Passo 5
Determinar a densidade superficial na superfície externa esférica:
- A superfície externa é uma esfera de raio
. Em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico imediatamente fora da superfície esférica é normal e tem magnitude igual à carga total vista por fora dividida por . Também, por simetria esférica externa (a superfície externa é esférica), a densidade superficial é uniforme. - A densidade superficial
relaciona-se com o campo normal pela lei de contorno:
- Como
, temos
- Substituindo
obtemos a forma geral
- Substituindo
resulta
Passo 6
Comentário didático final (útil para a prova, sem alterar a resposta):
- A carga na superfície externa é uniforme apesar da cavidade ser excêntrica porque a superfície externa é uma esfera e, para observadores externos, o sistema se comporta como uma carga pontual
no centro (campo radial simétrico). - A carga na superfície interna da cavidade é
e sua distribuição superficial é, em geral, não uniforme: depende da posição de dentro da cavidade. Só a superfície externa fica uniformemente carregada por causa da simetria esférica externa.