Problema 3 ( \mathbf{3 , 0} pt) Uma esfera condutora de raio R é carregada com uma carga Q e isolada. No interior desta esfera há uma cavidade esférica excêntrica dentro da qual uma carga q=Q / 3 é colocada em um ponto arbitrário.
Calcule a densidade superficial de carga da esfera condutora.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei a figura enviada):
  • Uma esfera condutora de raio R está isolada e tem carga total Q.
  • No interior desta esfera há uma cavidade esférica excêntrica; dentro da cavidade foi colocada uma carga pontual q em um ponto arbitrário.
  • O enunciado informa que q = \dfrac{Q}{3}.
  • O que se pede: calcular a densidade superficial de carga da esfera condutora (ou seja, a densidade superficial na superfície externa esférica de raio R).

Passo 2

Entender uma propriedade essencial dos condutores em equilíbrio eletrostático: o campo elétrico no interior do material condutor é nulo ( \mathbf{E}=0 dentro do metal). Vou usar isso para relacionar as cargas induzidas nas superfícies internas e externas.
  • Considere uma superfície gaussiana fixa dentro do metal, imediatamente por dentro da parte sólida do condutor que envolve a cavidade. Nessa superfície gaussiana o campo é zero, logo o fluxo elétrico é zero.
  • Pelo Teorema de Gauss, fluxo zero implica carga total encerrada pela superfície gaussiana igual a zero.
  • O que está encerrado por essa superfície gaussiana é a carga pontual q que está na cavidade mais a carga que ficou na superfície interna da cavidade (essa carga faz parte do condutor).

Passo 3

Calcular a carga na superfície interna da cavidade:
  • Pela condição do passo anterior, a soma das cargas encerradas é zero:
q + Q_{\text{interna}} = 0.
  • Portanto a carga na superfície interna da cavidade é
Q_{\text{interna}} = -q.
Isto é um resultado importante e geral: uma carga q colocada numa cavidade de um condutor induz uma carga -q na superfície interna da cavidade, independentemente da posição de q dentro da cavidade.

Passo 4

Determinar a carga na superfície externa do condutor:
  • O condutor inteiro (a parte metálica) tinha carga total dada Q. Essa carga total distribui-se apenas nas superfícies (superfície interna da cavidade e superfície externa), porque no interior do metal o campo é zero e não há carga volumétrica adicional.
  • Logo:
Q = Q_{\text{interna}} + Q_{\text{externa}}.
  • Substituindo Q_{\text{interna}} = -q obtém-se:
Q_{\text{externa}} = Q - Q_{\text{interna}} = Q - (-q) = Q + q.
  • Com o valor dado q = \dfrac{Q}{3}, tem-se:
Q_{\text{externa}} = Q + \dfrac{Q}{3} = \dfrac{4Q}{3}.

Passo 5

Determinar a densidade superficial na superfície externa esférica:
  • A superfície externa é uma esfera de raio R. Em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico imediatamente fora da superfície esférica é normal e tem magnitude igual à carga total vista por fora dividida por 4\pi\varepsilon_0 R^2. Também, por simetria esférica externa (a superfície externa é esférica), a densidade superficial é uniforme.
  • A densidade superficial \sigma relaciona-se com o campo normal pela lei de contorno:
\sigma = \varepsilon_0 E_{\text{fora}}.
  • Como E_{\text{fora}} = \dfrac{Q_{\text{externa}}}{4\pi\varepsilon_0 R^2}, temos
\sigma = \varepsilon_0 \cdot \frac{Q_{\text{externa}}}{4\pi\varepsilon_0 R^2} = \frac{Q_{\text{externa}}}{4\pi R^2}.
  • Substituindo Q_{\text{externa}} = Q + q obtemos a forma geral
\sigma = \frac{Q + q}{4\pi R^2}.
  • Substituindo q = \dfrac{Q}{3} resulta
\sigma = \frac{Q + \dfrac{Q}{3}}{4\pi R^2} = \frac{\dfrac{4Q}{3}}{4\pi R^2} = \frac{Q}{3\pi R^2}.

Passo 6

Comentário didático final (útil para a prova, sem alterar a resposta):
  • A carga na superfície externa é uniforme apesar da cavidade ser excêntrica porque a superfície externa é uma esfera e, para observadores externos, o sistema se comporta como uma carga pontual Q_{\text{externa}} no centro (campo radial simétrico).
  • A carga na superfície interna da cavidade é -q e sua distribuição superficial é, em geral, não uniforme: depende da posição de q dentro da cavidade. Só a superfície externa fica uniformemente carregada por causa da simetria esférica externa.

Resposta

\displaystyle \sigma=\frac{Q+q}{4\pi R^{2}}=\frac{Q}{3\pi R^{2}}

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