Problema 6 Uma matriz quadrada A é dita idempotente se A^{2}=A. Mostre que a matriz abaixo é idempotente.
\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ -1 & 0 & -1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz abaixo é idempotente, ou seja, que ela satisfaz A^{2}=A. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes: temos uma matriz quadrada 3\times3 com entradas explícitas mostradas acima; o objetivo é verificar que o produto A\cdot A é igual a A.]

Passo 2

Vou explicar o que significa ser idempotente e como vamos verificar isso. Dizer que uma matriz A é idempotente significa exatamente que
A^{2}=A,
onde A^{2} é o produto matricial A\cdot A. Para multiplicar duas matrizes quadradas B e C de ordem 3, usamos a regra “linha vezes coluna”: a entrada (BC)_{ij} (i-ésima linha, j-ésima coluna) é dada por
(BC)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} B_{ik}\,C_{kj}.
Aqui B_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de B, e C_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de C. No nosso caso B=C=A, então
(A^{2})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,A_{kj}.

Passo 3

Vamos calcular A^{2}=A\cdot A calculando cada entrada (A^{2})_{ij} com a fórmula acima. Vou fazer isso linha por linha, mostrando os produtos e somas explicitamente, para você poder replicar na prova.

Passo 4

Calculando a primeira linha de A^{2}.
Entrada (A^{2})_{11}:
(A^{2})_{11}=A_{11}A_{11}+A_{12}A_{21}+A_{13}A_{31}
Substituindo os valores da matriz A:
(A^{2})_{11}=2\cdot 2 + 0\cdot 1 + 2\cdot(-1)=4+0-2=2.
Entrada (A^{2})_{12}:
(A^{2})_{12}=A_{11}A_{12}+A_{12}A_{22}+A_{13}A_{32}
(A^{2})_{12}=2\cdot 0 + 0\cdot 1 + 2\cdot 0 = 0+0+0=0.
Entrada (A^{2})_{13}:
(A^{2})_{13}=A_{11}A_{13}+A_{12}A_{23}+A_{13}A_{33}
(A^{2})_{13}=2\cdot 2 + 0\cdot 2 + 2\cdot(-1)=4+0-2=2.

Passo 5

Agora a segunda linha de A^{2}.
Entrada (A^{2})_{21}:
(A^{2})_{21}=A_{21}A_{11}+A_{22}A_{21}+A_{23}A_{31}
(A^{2})_{21}=1\cdot 2 + 1\cdot 1 + 2\cdot(-1)=2+1-2=1.
Entrada (A^{2})_{22}:
(A^{2})_{22}=A_{21}A_{12}+A_{22}A_{22}+A_{23}A_{32}
(A^{2})_{22}=1\cdot 0 + 1\cdot 1 + 2\cdot 0 = 0+1+0=1.
Entrada (A^{2})_{23}:
(A^{2})_{23}=A_{21}A_{13}+A_{22}A_{23}+A_{23}A_{33}
(A^{2})_{23}=1\cdot 2 + 1\cdot 2 + 2\cdot(-1)=2+2-2=2.

Passo 6

Agora a terceira linha de A^{2}.
Entrada (A^{2})_{31}:
(A^{2})_{31}=A_{31}A_{11}+A_{32}A_{21}+A_{33}A_{31}
(A^{2})_{31}=(-1)\cdot 2 + 0\cdot 1 + (-1)\cdot(-1)= -2 + 0 + 1 = -1.
Entrada (A^{2})_{32}:
(A^{2})_{32}=A_{31}A_{12}+A_{32}A_{22}+A_{33}A_{32}
(A^{2})_{32}=(-1)\cdot 0 + 0\cdot 1 + (-1)\cdot 0 = 0+0+0=0.
Entrada (A^{2})_{33}:
(A^{2})_{33}=A_{31}A_{13}+A_{32}A_{23}+A_{33}A_{33}
(A^{2})_{33}=(-1)\cdot 2 + 0\cdot 2 + (-1)\cdot(-1)= -2 + 0 + 1 = -1.

Passo 7

Reunindo todas as entradas calculadas, obtemos
A^{2}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Comparando com a matriz original mostrada no Passo 1, vemos que A^{2}=A. Isso conclui a verificação.]

Resposta

A^{2}=A
\text{Portanto, a matriz é idempotente.}é

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