Problema 4 Considere as matrizes
Em cada item, calcule a expressão dada, ou, caso contrário, explique por que ela não está definida.
Em cada item, calcule a expressão dada, ou, caso contrário, explique por que ela não está definida.
Passo 1
O que o problema pede: calcular
.
Informações dadas (peguei do enunciado): a matriz é
Informações dadas (peguei do enunciado): a matriz
Não há outras perguntas; só precisamos do valor numérico de
.
Passo 2
Lembrando o que é a transposta: a transposta de uma matriz troca linhas por colunas. Escrevendo explicitamente
:
(Isto se obtém pegando a primeira coluna de
como primeira linha de
, a segunda coluna como segunda linha, etc.)
Passo 3
Definição de traço e uma propriedade muito útil aqui:
- O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Ou seja, para uma matriz
de ordem ,
- Para qualquer matriz
(de tamanho ) vale a identidade
Explicação dessa identidade (passo a passo): o elemento diagonal
-ésimo de
é o produto escalar da linha
de
com ela mesma,
Somando esses elementos diagonais para obter o traço dá exatamente a soma de todos os quadrados dos elementos de
:
Essa propriedade é prática porque evita multiplicar matrizes inteiras: basta somar os quadrados das entradas.
Passo 4
Agora calculamos os quadrados dos elementos de
e somamos por linha (isso facilita na prova):
Primeira linha de :
. Seus quadrados:
Primeira linha de
Soma da primeira linha:
Passo 5
Segunda linha de
:
. Seus quadrados:
Soma da segunda linha:
Passo 6
Terceira linha de
:
. Seus quadrados:
Soma da terceira linha:
Passo 7
Somando as somas das três linhas (que é a soma de todos os quadrados das entradas de
) obtemos o traço desejado: