Problema 4 Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right] \quad D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right] \quad E=\left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{array}\right]
Em cada item, calcule a expressão dada, ou, caso contrário, explique por que ela não está definida.
\operatorname{tr}\left(E E^{T}\right)

Passo 1

O que o problema pede: calcular \operatorname{tr}\left(E E^{T}\right).
Informações dadas (peguei do enunciado): a matriz E é
E=\begin{bmatrix}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{bmatrix}.
Não há outras perguntas; só precisamos do valor numérico de \operatorname{tr}\left(E E^{T}\right).

Passo 2

Lembrando o que é a transposta: a transposta de uma matriz troca linhas por colunas. Escrevendo explicitamente \,E^{T}\,:
E^{T}=\begin{bmatrix}6 & -1 & 4 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 3 & 2 & 3\end{bmatrix}.
(Isto se obtém pegando a primeira coluna de E como primeira linha de E^{T}, a segunda coluna como segunda linha, etc.)

Passo 3

Definição de traço e uma propriedade muito útil aqui:
  • O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Ou seja, para uma matriz M de ordem n,
\operatorname{tr}(M)=\sum_{i=1}^{n} M_{ii}.
  • Para qualquer matriz E (de tamanho m\times n) vale a identidade
\operatorname{tr}\left(E E^{T}\right)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} E_{ij}^{2}.
Explicação dessa identidade (passo a passo): o elemento diagonal i-ésimo de EE^{T} é o produto escalar da linha i de E com ela mesma,
(EE^{T})_{ii}=\sum_{j=1}^{n}E_{ij}E_{ij}=\sum_{j=1}^{n}E_{ij}^{2}.
Somando esses elementos diagonais para obter o traço dá exatamente a soma de todos os quadrados dos elementos de E:
\operatorname{tr}\left(EE^{T}\right)=\sum_{i=1}^{m}(EE^{T})_{ii}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}E_{ij}^{2}.
Essa propriedade é prática porque evita multiplicar matrizes inteiras: basta somar os quadrados das entradas.

Passo 4

Agora calculamos os quadrados dos elementos de E e somamos por linha (isso facilita na prova):
Primeira linha de E: 6,\,1,\,3. Seus quadrados:
6^{2}=36,\quad 1^{2}=1,\quad 3^{2}=9.
Soma da primeira linha:
36+1+9=46.

Passo 5

Segunda linha de E: -1,\,1,\,2. Seus quadrados:
(-1)^{2}=1,\quad 1^{2}=1,\quad 2^{2}=4.
Soma da segunda linha:
1+1+4=6.

Passo 6

Terceira linha de E: 4,\,1,\,3. Seus quadrados:
4^{2}=16,\quad 1^{2}=1,\quad 3^{2}=9.
Soma da terceira linha:
16+1+9=26.

Passo 7

Somando as somas das três linhas (que é a soma de todos os quadrados das entradas de E) obtemos o traço desejado:
\operatorname{tr}\left(EE^{T}\right)=46+6+26=78.

Resposta

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