Problema 11 Considere as matrizes 2 \times 2 abaixo
A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\ 5 & 2\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\ 4 & 4\end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{cc}6 & 4 \\\ -2 & -1\end{array}\right]
Use as matrizes A, B e C para verificar a identidade (A B C)^{-1}=C^{-1} B^{-1} A^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade
( A B C )^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}
usando as matrizes dadas:
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]4 & 4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}6 & 4\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas: as três matrizes A, B e C são 2\times2. A verificação exige computar o lado esquerdo (ABC)^{-1} e o lado direito C^{-1}B^{-1}A^{-1} e checar que são iguais. Não precisamos perguntar nada ao professor: vamos calcular explicitamente.]

Passo 2

Primeiro precisamos das inversas A^{-1}, B^{-1} e C^{-1}. Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
com determinante \det(M)=ad-bc\neq0, a fórmula da inversa é
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui \det(M) é um número escalar que mede se a matriz é invertível; se \det(M)=0 não haveria inversa. Vamos aplicar essa fórmula em cada matriz, calculando primeiro os determinantes (vou mostrar cada conta devagarinho).
Determinante de A:
\det(A)=3\cdot2-1\cdot5=6-5=1.
Como \det(A)=1, a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix}.
Determinante de B:
\det(B)=2\cdot4-(-3)\cdot4=8-(-12)=20.
Logo
B^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]-4 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{4}{20} & \tfrac{3}{20}\\[6pt]-\tfrac{4}{20} & \tfrac{2}{20}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{20}\\[6pt]-\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{10}\end{pmatrix}.
Determinante de C:
\det\text{(C)}=6\cdot(-1)-4\cdot(-2)=-6-(-8)=-6+8=2.
Logo
C^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & -4\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & -2\\[6pt]1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos o produto C^{-1}B^{-1}A^{-1}. Lembrete rápido de multiplicação de matrizes 2\times2: para X=(x_{ij}) e Y=(y_{ij}), o elemento (XY)_{ij} é a soma produto da linha i de X pela coluna j de Y.
Já temos
A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix},\quad B^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{20}\\[6pt]-\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{10}\end{pmatrix},\quad C^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & -2\\[6pt]1 & 3\end{pmatrix}.
Calculemos M:=B^{-1}A^{-1} passo a passo.
Elemento M_{11}:
M_{11}=\tfrac{1}{5}\cdot 2 + \tfrac{3}{20}\cdot(-5)=\tfrac{2}{5}-\tfrac{15}{20}=\tfrac{8}{20}-\tfrac{15}{20}=-\tfrac{7}{20}.
Elemento M_{12}:
M_{12}=\tfrac{1}{5}\cdot(-1)+\tfrac{3}{20}\cdot 3=-\tfrac{1}{5}+\tfrac{9}{20}=-\tfrac{4}{20}+\tfrac{9}{20}=\tfrac{5}{20}=\tfrac{1}{4}.
Elemento M_{21}:
M_{21}=-\tfrac{1}{5}\cdot 2 + \tfrac{1}{10}\cdot(-5)=-\tfrac{2}{5}-\tfrac{5}{10}=-\tfrac{2}{5}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{9}{10}.
Elemento M_{22}:
M_{22}=-\tfrac{1}{5}\cdot(-1)+\tfrac{1}{10}\cdot 3=\tfrac{1}{5}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{2}{10}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{5}{10}=\tfrac{1}{2}.
Portanto
B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{7}{20} & \tfrac{1}{4}\\[6pt]-\tfrac{9}{10} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Agora C^{-1}(B^{-1}A^{-1}). Multiplicamos C^{-1} por M:
Elemento (C^{-1}M)_{11}:
-\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{7}{20}\right)+(-2)\cdot\left(-\tfrac{9}{10}\right) =\tfrac{7}{40}+\tfrac{18}{10}=\tfrac{7}{40}+\tfrac{72}{40}=\tfrac{79}{40}.
Elemento (C^{-1}M)_{12}:
-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4}+(-2)\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{8}-1=-\tfrac{9}{8}.
Elemento (C^{-1}M)_{21}:
1\cdot\left(-\tfrac{7}{20}\right)+3\cdot\left(-\tfrac{9}{10}\right)=-\tfrac{7}{20}-\tfrac{27}{10}=-\tfrac{7}{20}-\tfrac{54}{20}=-\tfrac{61}{20}.
Elemento (C^{-1}M)_{22}:
1\cdot\tfrac{1}{4}+3\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{6}{4}=\tfrac{7}{4}.
Assim
C^{-1}B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{79}{40} & -\tfrac{9}{8}\\[6pt]-\tfrac{61}{20} & \tfrac{7}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos ABC diretamente e depois sua inversa (ABC)^{-1}, para comparar com o resultado anterior.
Primeiro AB:
AB=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]4 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\cdot2+1\cdot4 & 3\cdot(-3)+1\cdot4\\[6pt] 5\cdot2+2\cdot4 & 5\cdot(-3)+2\cdot4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}10 & -5\\[4pt]18 & -7\end{pmatrix}.
Em seguida ABC=(AB)C:
ABC=\begin{pmatrix}10 & -5\\[4pt]18 & -7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}6 & 4\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 10\cdot6+(-5)\cdot(-2) & 10\cdot4+(-5)\cdot(-1)\\[6pt] 18\cdot6+(-7)\cdot(-2) & 18\cdot4+(-7)\cdot(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}70 & 45\\[4pt]122 & 79\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da inversa 2\times2 a ABC. Primeiro o determinante:
\det(ABC)=70\cdot79-45\cdot122.
Calculemos:
70\cdot79=5530,\qquad 45\cdot122=5490,\qquad \det(ABC)=5530-5490=40.
Como \det(ABC)=40\neq0, a inversa é
(ABC)^{-1}=\frac{1}{40}\begin{pmatrix}79 & -45\\[4pt]-122 & 70\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{79}{40} & -\tfrac{45}{40}\\[6pt]-\tfrac{122}{40} & \tfrac{70}{40}\end{pmatrix}.
Simplificando as frações:
-\tfrac{45}{40}=-\tfrac{9}{8},\qquad -\tfrac{122}{40}=-\tfrac{61}{20},\qquad \tfrac{70}{40}=\tfrac{7}{4},
logo
(ABC)^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{79}{40} & -\tfrac{9}{8}\\[6pt]-\tfrac{61}{20} & \tfrac{7}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Comparando os resultados dos passos anteriores, obtemos
C^{-1}B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{79}{40} & -\tfrac{9}{8}\\[6pt]-\tfrac{61}{20} & \tfrac{7}{4}\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad (ABC)^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{79}{40} & -\tfrac{9}{8}\\[6pt]-\tfrac{61}{20} & \tfrac{7}{4}\end{pmatrix}.
Os dois lados coincidem exatamente, portanto a identidade foi verificada para as matrizes fornecidas:
(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}.]

Resposta

(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{79}{40} & -\tfrac{9}{8}\\[6pt]-\tfrac{61}{20} & \tfrac{7}{4}\end{pmatrix}]

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