Questão 3 - Uma indústria precisa projetar a parede de um armazém que deve manter uma temperatura interna de 18^{\circ} \mathrm{C} enquanto a temperatura externa chega a 32^{\circ} \mathrm{C}. O sistema de climatização tem uma capacidade máxima de remoção de calor de 2500 \mathrm{BTU} / \mathrm{h}. Dimensões do armazém: 12 m (comprimento) \times 8 \mathrm{~m} (largura) \times 3,5 \mathrm{~m} (altura). Despreze trocas de calor pelo piso, teto, portas e janelas. Determinar a espessura da parede (d) em função da condutividade térmica (k) do material. Considerando os seguintes materiais tijolo, lã de vidro e poliuretano expandido com as respectivas condutividades térmicas: 0,72,0,04 e 0,02 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}). Qual material seria mais apropriado utilizar e por quê?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  • Encontrar a espessura da parede d em função da condutividade térmica k.
  • Usando os valores k dados para tijolo, lã de vidro e poliuretano expandido, calcular a espessura necessária em cada caso e dizer qual material é mais apropriado e por quê.
Informações numéricas fornecidas (vou listar tudo que vem no enunciado):
  • Temperatura interna: 18^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa: 32^\circ\mathrm{C}.
  • Capacidade máxima do ar condicionado: 2500\\ \mathrm{BTU/h}.
  • Dimensões do armazém: comprimento =12\\ \mathrm{m}, largura =8\\ \mathrm{m}, altura =3,5\\ \mathrm{m}.
  • Desprezar trocas de calor por piso, teto, portas e janelas (ou seja, só consideramos as quatro paredes laterais).
  • Condutividades térmicas pedidas:
    • Tijolo: k=0,72\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Lã de vidro: k=0,04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Poliuretano expandido: k=0,02\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
O que precisamos obter: uma expressão analítica d(k) e, em seguida, os valores numéricos de d para cada material e a escolha do material mais apropriado.

Passo 2

Converter a capacidade do ar condicionado para unidades do Sistema Internacional (Watts), porque a fórmula de condução usa Watts (J/s).
Fator de conversão conhecido:
1\\ \mathrm{BTU/h} \approx 0,29307107\\ \mathrm{W}.
Portanto:
\dot{Q}_{\max}=2500\\ \mathrm{BTU/h}=2500\times 0,29307107\\ \mathrm{W}\approx 732,677675\\ \mathrm{W}.
Para simplificar cálculos vamos usar \dot{Q}_{\max}\approx732,68\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Calcular a diferença de temperatura entre interior e exterior (em Kelvin ou °C — a diferença é a mesma).
\Delta T = T_{\text{ext}}-T_{\text{int}}=32^\circ\mathrm{C}-18^\circ\mathrm{C}=14\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a área total das quatro paredes laterais (desprezando portas/janelas conforme enunciado).
Duas paredes com dimensão comprimento × altura:
A_{1}=2\times(12\\ \mathrm{m}\times 3,5\\ \mathrm{m})=2\times 42\\ \mathrm{m}^2=84\\ \mathrm{m}^2.
Duas paredes com dimensão largura × altura:
A_{2}=2\times(8\\ \mathrm{m}\times 3,5\\ \mathrm{m})=2\times 28\\ \mathrm{m}^2=56\\ \mathrm{m}^2.
Área total das paredes:
A = A_{1}+A_{2}=84+56=140\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Apresentar a lei da condução estacionária (Lei de Fourier para parede plana) e explicar cada termo.
Para calor conduzido através de uma parede plana e homogênea de espessura d, superfície A, condutividade k e diferença de temperatura \Delta T, a taxa de transferência de calor em regime estacionário é:
\dot{Q}=\frac{k\,A\,\Delta T}{d}.
Explicando cada variável:
  • \dot{Q}: taxa de calor (potência) atravessando a parede, em \mathrm{W}.
  • k: condutividade térmica do material, em \mathrm{W/(m\cdot K)}. Quanto maior k, mais fácil o material conduz calor.
  • A: área através da qual o calor passa, em \mathrm{m}^2.
  • \Delta T: diferença de temperatura entre os lados (em K ou °C).
  • d: espessura da parede em \mathrm{m}. Observe que \dot{Q} é inversamente proporcional a d: parede mais grossa reduz a perda de calor.

Passo 6

Isolar d na equação para obter d em função de k (isto responde a primeira parte do enunciado).
Partindo de
\dot{Q}=\frac{k\,A\,\Delta T}{d},
temos
d=\frac{k\,A\,\Delta T}{\dot{Q}}.
Para o nosso caso específico, A=140\\ \mathrm{m}^2, \Delta T=14\\ \mathrm{K}, \dot{Q}=\dot{Q}_{\max}\approx732,68\\ \mathrm{W}. Logo:
d(k)=\frac{k\cdot 140\cdot 14}{732,68}.

Passo 7

Simplificar a expressão numérica para obter um fator multiplicativo de k.
Calcular o numerador:
140\cdot 14=1960.
Então
d(k)=\frac{1960}{732,68}\,k \approx 2,67396\,k.
Portanto, a expressão prática é
d(k)\approx 2,67396\,k\quad\text{(com \(d\) em metros quando \(k\) em \(\mathrm{W/(m\cdot K)}\)).}

Passo 8

Calcular d para cada material substituindo o respectivo k.
  • Tijolo: k=0,72\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
d_{\text{tijolo}}\approx 2,67396\times 0,72 \approx 1,925\\ \mathrm{m}.
  • Lã de vidro: k=0,04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
d_{\text{lã}} \approx 2,67396\times 0,04 \approx 0,10696\\ \mathrm{m}\approx 10,7\\ \mathrm{cm}.ã
  • Poliuretano expandido: k=0,02\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
d_{\text{poliuretano}} \approx 2,67396\times 0,02 \approx 0,05348\\ \mathrm{m}\approx 5,35\\ \mathrm{cm}.

Passo 9

Interpretação e recomendação (por que escolher um material em vez de outro).
  • A regra intuitiva: quanto menor k, menor a espessura necessária para limitar a carga térmica até o máximo que o ar condicionado pode remover. Isso vem direto da fórmula d=\dfrac{kA\Delta T}{\dot{Q}}.
  • Comparando os resultados:
    • Tijolo exigiria uma espessura impraticável de aproximadamente 1,93\\ \mathrm{m} para que a carga térmica pelas paredes não exceda o ar condicionado — isso é inviável construtivamente e caro.
    • Lã de vidro exige cerca de 10,7\\ \mathrm{cm}, um valor totalmente prático e comum para isolamento.
    • Poliuretano exige cerca de 5,35\\ \mathrm{cm}, ainda mais fino e portanto muito eficiente em termos de espessura necessária.
  • Conclusão: do ponto de vista estritamente térmico e de espaço, o poliuretano expandido é o mais apropriado porque, por ter a menor condutividade ( k=0,02), permite a menor espessura para manter a carga térmica dentro da capacidade do sistema. A lã de vidro também seria uma boa opção (um pouco mais espessa). O tijolo é inadequado aqui pelo grande espessamento necessário.
Observação prática (breve): na escolha final também é preciso considerar custo, inflamabilidade, resistência mecânica, necessidade de barreira de vapor e instalação — mas termo-ativamente (isolamento térmico e espessura) o poliuretano é o preferido.

Resposta

d(k)=\frac{k\cdot 140\cdot 14}{732,68}\approx 2,67396\,k\\ \mathrm{(m)}
d_{\text{tijolo}}\approx 1,925\\ \mathrm{m}
d_{\text{lã de vidro}}\approx 0,10696\\ \mathrm{m}\approx 10,7\\ \mathrm{cm}ã
d_{\text{poliuretano}}\approx 0,05348\\ \mathrm{m}\approx 5,35\\ \mathrm{cm}
Poliuretano expandido é o mais apropriado, pois tem a menor condutividade ( k=0,02) e portanto requer a menor espessura para que a carga térmica pelas paredes não ultrapasse a capacidade do ar condicionado.

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