Questão 2 - Uma câmara frigorífica deve manter uma temperatura interna de 4^{\circ} \mathrm{C} em um ambiente externo que atinge 30^{\circ} \mathrm{C}. A câmara possui as seguintes dimensões: comprimento de 10 m , largura de 5 m e espessura de 3 m .
Dados:
  • O material isolante das paredes tem condutividade térmica 0,04 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}).
  • O sistema de refrigeração tem capacidade máxima de remover 2000 \mathrm{BTU} / \mathrm{h} de calor.
  • Despreze trocas de calor pelo piso e teto.
  • A área ocupada por portas e aberturas é insignificante.
Determinar a espessura mínima (d) que a parede deve ter para que o sistema de refrigeração consiga manter a temperatura interna estável, sem sobrecarga.
\mathrm{R}: d=16 \mathrm{~cm}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (todos os números abaixo estão exatamente como dados no enunciado).
O enunciado pede: determinar a espessura mínima d da parede (isolante) para que o sistema de refrigeração consiga manter a temperatura interna estável sem sobrecarga.
Dados:
  • Temperatura interna: T_{\text{in}} = 4^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa: T_{\text{out}} = 30^\circ\mathrm{C}.
  • Dimensões da câmara: comprimento = 10\\ \mathrm{m}, largura = 5\\ \mathrm{m}, altura (espessura vertical) = 3\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do isolante: k = 0,04\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • Capacidade máxima de remoção de calor do sistema: 2000\\ \mathrm{BTU}/\mathrm{h}.
  • Desprezar trocas de calor pelo piso e teto.
  • Área de portas/aberturas insignificante (logo só consideramos as quatro paredes laterais).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (a explicação didática):
Quando uma parede plana, homogênea e com espessura d separa dois ambientes com diferença de temperatura \Delta T, o fluxo de calor em regime estacionário por condução através dessa parede é dado pela lei de Fourier para uma placa plana:
\dot Q = \frac{k\,A\,\Delta T}{d}.
Onde:
  • \dot Q é a taxa de calor atravessando a parede (em \mathrm{W}).
  • k é a condutividade térmica do material (em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})); mede quão bem o material conduz calor.
  • A é a área total através da qual o calor é transferido (em \mathrm{m}^2).
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre fora e dentro (em \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}; a diferença é a mesma numericamente).
  • d é a espessura da parede (em \mathrm{m}).
Explicando em palavras: quanto maior k, A ou \Delta T, maior o calor que atravessa; quanto maior d, menor o fluxo de calor. Para que o refrigerador não sobrecarregue, a taxa de calor que entra por condução deve ser menor ou igual à capacidade máxima de remoção do equipamento.

Passo 3

Calcular a área total A das quatro paredes laterais (desprezando piso e teto). Há duas paredes grandes (comprimento \times altura) e duas pequenas (largura \times altura).
Área de cada parede grande:
A_{\text{grande}} = 10\\ \mathrm{m}\times 3\\ \mathrm{m} = 30\\ \mathrm{m}^2.
Como há duas:
2A_{\text{grande}} = 2\cdot 30 = 60\\ \mathrm{m}^2.
Área de cada parede pequena:
A_{\text{pequena}} = 5\\ \mathrm{m}\times 3\\ \mathrm{m} = 15\\ \mathrm{m}^2.
Duas dessas:
2A_{\text{pequena}} = 2\cdot 15 = 30\\ \mathrm{m}^2.
Área total das quatro paredes:
A = 60 + 30 = 90\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Converter a capacidade de refrigeração de 2000\\ \mathrm{BTU}/\mathrm{h} para watts ( \mathrm{W}), pois a fórmula de condução usa \mathrm{W}. Dois caminhos de conversão (uso o fator combinado): 1\\ \mathrm{BTU}/\mathrm{h} \approx 0,29307107\\ \mathrm{W}. Assim
\dot Q_{\max} = 2000\\ \mathrm{BTU}/\mathrm{h}\times 0,29307107\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{BTU}/\mathrm{h}} \approx 586{,}14214\\ \mathrm{W}.
(Se preferir a conta em J/s: 1\\ \mathrm{BTU}=1055{,}05585\\ \mathrm{J}, dividir por 3600\\ \mathrm{s} dá o mesmo resultado.)
A diferença de temperatura é
\Delta T = T_{\text{out}}-T_{\text{in}} = 30^\circ\mathrm{C}-4^\circ\mathrm{C}=26\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Agora isolamos d na fórmula de condução, impondo que a taxa de calor que entra não ultrapasse a capacidade máxima do refrigerador:
\dot Q = \frac{k A \Delta T}{d} \le \dot Q_{\max}.
Para encontrar a espessura mínima d que garante \dot Q \le \dot Q_{\max} resolvemos a igualdade (caso limite):
d = \frac{k\,A\,\Delta T}{\dot Q_{\max}}.
Substituindo os valores numéricos:
k = 0{,}04\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}),\quad A = 90\\ \mathrm{m}^2,\quad \Delta T = 26\\ \mathrm{K},\quad \dot Q_{\max} \approx 586{,}14214\\ \mathrm{W}.
Calcule o numerador:
k A \Delta T = 0{,}04\times 90\times 26 = 0{,}04\times 2340 = 93{,}6\\ \mathrm{W\cdot m}.
Agora
d = \frac{93{,}6}{586{,}14214}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}15975\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Converter para centímetros e arredondar para uma espessura prática. Em centímetros:
d \approx 0{,}15975\\ \mathrm{m}\times 100 = 15{,}975\\ \mathrm{cm}.
Como se pede a espessura mínima e, na prática, escolhe-se um valor comercial/arredondado que não subestime a proteção térmica, arredondamos para cima para 16\\ \mathrm{cm}.
Força motivacional: boa! Você acompanhou toda a dedução física e as contas passo a passo — é exatamente o tipo de raciocínio pedida em prova.

Resposta

d = 16\\ \mathrm{cm}

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