Problema 2 (Mínimos quadrados). Suponha que queremos aproximar uma certa função f(t) por uma função g(t) da forma g(x, y)=a t+b. Sabendo que f(-4)=5, f(0)=-4, f(2)=-5, encontre os valores de a e b que minimizam a soma dos erros quadráticos:
E(a, b)=|g(-4)-f(-4)|^{2}+|g(0)-f(0)|^{2}+|g(2)-f(2)|^{2} .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores de a e b que minimizam a soma dos erros quadráticos
E(a,b)=|g(-4)-f(-4)|^{2}+|g(0)-f(0)|^{2}+|g(2)-f(2)|^{2},
quando g(t)=a\,t+b e são conhecidos os valores
f(-4)=5,\quad f(0)=-4,\quad f(2)=-5.
Informações relevantes dadas:
\text{Pontos: }(t,f(t)) = (-4,5),\\ (0,-4),\\ (2,-5).
O que se pede: os números a e b que tornam E(a,b) mínimo.

Passo 2

Escrevendo explicitamente E(a,b) substituindo os pontos dados. Para cada ponto o erro é g(t)-f(t)=a t+b-f(t). Então
E(a,b)=(a(-4)+b-5)^{2}+(a\cdot 0+b-(-4))^{2}+(a\cdot 2+b-(-5))^{2}.
Vou deixar a expressão um pouco mais organizada:
E(a,b)=(-4a+b-5)^{2}+(b+4)^{2}+(2a+b+5)^{2}.

Passo 3

Estratégia para minimizar E(a,b) (explicação didática): E é uma função quadrática em a e b. Para encontrar seu mínimo diferenciável, calculamos as derivadas parciais \partial E/\partial a e \partial E/\partial b e igualamos a zero — isso gera um sistema linear nas variáveis a e b. Esse sistema é conhecido como equações normais da aproximação por mínimos quadrados. Como E é uma forma quadrática convexa (verificaremos a convexidade depois), as soluções das equações normais dão o mínimo global.

Passo 4

Para escrever as equações normais de modo compacto, é útil interpretar E como soma \sum_{i}(a t_i + b - f_i)^2. Definimos os somatórios sobre os três pontos:
\sum t_i = (-4)+0+2=-2,
\sum t_i^{2}=(-4)^{2}+0^{2}+2^{2}=16+0+4=20,
\sum f_i = 5+(-4)+(-5)=-4,
\sum t_i f_i = (-4)\cdot 5 + 0\cdot(-4) + 2\cdot(-5) = -20+0-10=-30.
As equações normais são (derivando e cancelando o fator 2):
a\sum t_i^{2} + b\sum t_i = \sum t_i f_i,
a\sum t_i + b\cdot 3 = \sum f_i,
onde 3 é o número de pontos.

Passo 5

Substituindo os somatórios que calculamos nas equações normais obtemos o sistema linear
20a + (-2)b = -30,
(-2)a + 3b = -4.
Vou reescrevê-lo de forma limpa:
\begin{cases} 20a - 2b = -30,\\[6pt] -2a + 3b = -4. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo o sistema. Multiplico a segunda equação por 10 para facilitar:
-20a + 30b = -40.
Somando com a primeira equação 20a - 2b = -30 temos
(20a-20a) + (-2b + 30b) = -30 + (-40),
logo
28b = -70.
Portanto
b = \frac{-70}{28} = -\frac{5}{2}.

Passo 7

Agora encontro a usando a segunda equação -2a + 3b = -4. Substituindo b=-\frac{5}{2}:
-2a + 3\left(-\frac{5}{2}\right) = -4.
Calculando 3\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{15}{2}, temos
-2a - \frac{15}{2} = -4.
Somando \frac{15}{2} em ambos os lados:
-2a = -4 + \frac{15}{2} = -\frac{8}{2} + \frac{15}{2} = \frac{7}{2}.
Logo
a = -\frac{7}{4}.

Passo 8

Verificação rápida da natureza do extremo (aula curta): o Hessiano de E em (a,b) é a matriz simétrica
H = 2\begin{pmatrix}\sum t_i^{2} & \sum t_i \\\ \sum t_i & 3\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}20 & -2 \\\\ -2 & 3\end{pmatrix}.
Para ser mínimo precisamos que a matriz interior seja definida positiva. Seu determinante é
20\cdot 3 - (-2)^{2} = 60 - 4 = 56 > 0
e 20>0, então a matriz é definida positiva e o ponto crítico encontrado é de fato um mínimo global. Tudo consistente!

Resposta

a=-\frac{7}{4}
b=-\frac{5}{2}

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