Seja
. Determine o ponto de
mais próximo da origem.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede: determinar o ponto de
que está mais próximo da origem.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Variáveis:
. - Condições:
, e a restrição . - Objetivo: minimizar a distância da origem ao ponto
sujeito à restrição acima.
Passo 2
Estratégia inicial (explicação didática): ao procurar o ponto mais próximo da origem costuma-se minimizar a distância, mas é mais simples minimizar o quadrado da distância porque a função quadrática é mais fácil de derivar e preserva a ordem (o mínimo da distância ocorre no mesmo ponto que o mínimo do quadrado da distância). Definimos a função distância ao quadrado
Minimizaremos
sujeito à restrição
. Aqui
é a função que queremos tornar o menor possível e a restrição nos dá uma relação entre
.
Passo 3
Usamos a restrição para eliminar uma variável (isso simplifica o problema sem precisar de multiplicadores de Lagrange). Da igualdade
isolamos
:
Observação: como
e
,
dado por essa expressão é positivo, então atende
. Substituímos essa expressão em
para obter uma função de duas variáveis
:
Agora o problema é minimizar
para
e
.
Passo 4
Vamos achar pontos críticos de
calculando as derivadas parciais e igualando a zero. Primeiro interpretando as derivadas: a derivada parcial em relação a
mede como
varia quando alteramos
mantendo
fixo; em relação a
, mede a variação quando alteramos
mantendo
fixo.
Calculemos
. A primeira parcela
é
. A derivada de
em relação a
é
. A derivada de
é
. A derivada de
em relação a
é zero. Assim:
Igualando a zero:
Multiplicando por
(positivo, pois
):
Logo, tomando a raiz sexta,
Aqui escolhemos a raiz positiva porque
.
Passo 5
Agora calculemos
. A parcela
depende de
via
. Derivando
em relação a
obtemos
pois a derivada de
é
. A derivada de
é
. Então:
Factorizando
:
Igualando a zero, as possibilidades são:
-
, isto é ; ou -
. Mas essa segunda expressão nunca é zero porque e , então . Portanto a única solução é
Passo 6
Substituímos
na expressão que obtivemos para
:
Agora encontramos
usando a restrição (ou a fórmula que isolou
):
Portanto o ponto crítico candidato é
Passo 7
Convencendo-nos de que esse ponto é o mínimo global (didática e garantia): a função
é contínua em
e é coerciva, ou seja, tende a
quando
, quando
(pois
) e quando
(pois a parcela com
domina). Portanto
atinge um mínimo global num ponto interior da região. Como encontramos um único ponto crítico interior, esse ponto é o mínimo global. Logo o ponto da superfície
mais próximo da origem é
.