Seja A=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x>0, y>0, x y^{2} e^{-z^{2}}=1\right\}. Determine o ponto de A mais próximo da origem.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x>0,\; y>0,\; x y^{2} e^{-z^{2}} = 1\}
e pede: determinar o ponto de A que está mais próximo da origem.
Informações relevantes que temos:
  • Variáveis: (x,y,z).
  • Condições: x>0, y>0 e a restrição \;x y^{2} e^{-z^{2}} = 1.
  • Objetivo: minimizar a distância da origem ao ponto (x,y,z) sujeito à restrição acima.

Passo 2

Estratégia inicial (explicação didática): ao procurar o ponto mais próximo da origem costuma-se minimizar a distância, mas é mais simples minimizar o quadrado da distância porque a função quadrática é mais fácil de derivar e preserva a ordem (o mínimo da distância ocorre no mesmo ponto que o mínimo do quadrado da distância). Definimos a função distância ao quadrado
D(x,y,z) = x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Minimizaremos D sujeito à restrição x y^{2} e^{-z^{2}} = 1. Aqui D é a função que queremos tornar o menor possível e a restrição nos dá uma relação entre x,y,z.

Passo 3

Usamos a restrição para eliminar uma variável (isso simplifica o problema sem precisar de multiplicadores de Lagrange). Da igualdade
x y^{2} e^{-z^{2}} = 1
isolamos x:
x = \frac{e^{z^{2}}}{y^{2}}.
Observação: como y>0 e e^{z^{2}}>0, x dado por essa expressão é positivo, então atende x>0. Substituímos essa expressão em D para obter uma função de duas variáveis (y,z):
f(y,z) = D\bigl(x(y,z),y,z\bigr) = \left(\frac{e^{z^{2}}}{y^{2}}\right)^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{e^{2z^{2}}}{y^{4}} + y^{2} + z^{2}.
Agora o problema é minimizar f(y,z) para y>0 e z\in\mathbb{R}.

Passo 4

Vamos achar pontos críticos de f calculando as derivadas parciais e igualando a zero. Primeiro interpretando as derivadas: a derivada parcial em relação a y mede como f varia quando alteramos y mantendo z fixo; em relação a z, mede a variação quando alteramos z mantendo y fixo.
Calculemos \partial f/\partial y. A primeira parcela \dfrac{e^{2z^{2}}}{y^{4}} é e^{2z^{2}}\cdot y^{-4}. A derivada de y^{-4} em relação a y é -4 y^{-5}. A derivada de y^{2} é 2y. A derivada de z^{2} em relação a y é zero. Assim:
\frac{\partial f}{\partial y} = -4 e^{2z^{2}} y^{-5} + 2y.
Igualando a zero:
-4 e^{2z^{2}} y^{-5} + 2y = 0.
Multiplicando por y^{5} (positivo, pois y>0):
-4 e^{2z^{2}} + 2 y^{6} = 0 \quad\Rightarrow\quad y^{6} = 2 e^{2z^{2}}.
Logo, tomando a raiz sexta,
y = \bigl(2 e^{2z^{2}}\bigr)^{1/6} = 2^{1/6} e^{z^{2}/3}.
Aqui escolhemos a raiz positiva porque y>0.

Passo 5

Agora calculemos \partial f/\partial z. A parcela \dfrac{e^{2z^{2}}}{y^{4}} depende de z via e^{2z^{2}}. Derivando e^{2z^{2}} em relação a z obtemos e^{2z^{2}}\cdot (4z) pois a derivada de 2z^{2} é 4z. A derivada de z^{2} é 2z. Então:
\frac{\partial f}{\partial z} = 4z\, e^{2z^{2}} y^{-4} + 2z.
Factorizando 2z:
\frac{\partial f}{\partial z} = 2z\left(2 e^{2z^{2}} y^{-4} + 1\right).
Igualando a zero, as possibilidades são:
  • 2z = 0, isto é z = 0; ou
  • 2 e^{2z^{2}} y^{-4} + 1 = 0. Mas essa segunda expressão nunca é zero porque e^{2z^{2}}>0 e y^{-4}>0, então 2 e^{2z^{2}} y^{-4} + 1 > 0. Portanto a única solução é
z = 0.

Passo 6

Substituímos z=0 na expressão que obtivemos para y:
y = 2^{1/6} e^{0} = 2^{1/6}.
Agora encontramos x usando a restrição (ou a fórmula que isolou x):
x = \frac{e^{z^{2}}}{y^{2}} = \frac{e^{0}}{\bigl(2^{1/6}\bigr)^{2}} = \frac{1}{2^{1/3}} = 2^{-1/3}.
Portanto o ponto crítico candidato é
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(2^{-1/3},\;2^{1/6},\;0\bigr).

Passo 7

Convencendo-nos de que esse ponto é o mínimo global (didática e garantia): a função f(y,z)=\dfrac{e^{2z^{2}}}{y^{4}}+y^{2}+z^{2} é contínua em y>0, z\in\mathbb{R} e é coerciva, ou seja, tende a +\infty quando y\to 0^+, quando y\to +\infty (pois y^{2}\to\infty) e quando |z|\to\infty (pois a parcela com e^{2z^{2}} domina). Portanto f atinge um mínimo global num ponto interior da região. Como encontramos um único ponto crítico interior, esse ponto é o mínimo global. Logo o ponto da superfície A mais próximo da origem é \bigl(2^{-1/3},2^{1/6},0\bigr).

Resposta

\left(2^{-1/3},\,2^{1/6},\,0\right)

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