Resolva as equações:
y^{\prime}+y=t e^{t}
y^{\prime}+y=t e^{t}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede para encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade para
real.
Informações relevantes: a equação está na forma linear de primeira ordem e o termo do lado direito é . Não há condição inicial fornecida, então vamos encontrar a solução geral (com constante arbitrária).
Informações relevantes: a equação está na forma linear de primeira ordem e o termo do lado direito é
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
onde aqui
e
.
Para esse tipo de equação usamos o fator integrante (integrating factor). O fator integrante é definido por
Para esse tipo de equação usamos o fator integrante (integrating factor). O fator integrante
Vou explicar isso devagar: a ideia do fator integrante é multiplicar a equação por
de modo que o lado esquerdo vire a derivada de um produto
. Como
, temos
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá
Agora a razão de termos escolhido
se mostra: o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Para ver isso, uso a regra do produto:
que é igual ao lado esquerdo obtido. Portanto podemos reescrever a equação como
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Preciso calcular a integral
. Vou resolver essa integral por partes — vou explicar essa técnica: para
escolhemos
e
de modo que
. Aqui escolho
(porque sua derivada fica simples) e
. Então
Aplicando a fórmula da integração por partes:
A integral restante é direta:
Logo
onde
é uma constante (que vou absorver na constante
do passo anterior).
Passo 5
Substituindo a integral encontrada em
, obtemos
Agora isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando
, temos
Passo 6
Agrupando os dois termos que têm
, podemos escrever a solução de forma mais compacta:
onde
é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 7
Breve checagem (útil na prova): podemos derivar
e substituir de volta na equação para verificar. Derivando
que simplifica (agrupando termos) para
. Somando
os termos com
e com
cancelam apropriadamente, restando
. Isso confirma a solução.