Resolva as equações:
y^{\prime}+y=t e^{t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y^\prime + y = t e^{t}
e pede para encontrar todas as funções y(t) que satisfazem essa igualdade para t real.
Informações relevantes: a equação está na forma linear de primeira ordem e o termo do lado direito é t e^{t}. Não há condição inicial fornecida, então vamos encontrar a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y^\prime + p(t) y = q(t),
onde aqui p(t)=1 e q(t)=t e^{t}.
Para esse tipo de equação usamos o fator integrante (integrating factor). O fator integrante \mu(t) é definido por
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Vou explicar isso devagar: a ideia do fator integrante é multiplicar a equação por \mu(t) de modo que o lado esquerdo vire a derivada de um produto \mu(t)y(t). Como p(t)=1, temos
\mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{t}. Isso dá
e^{t}y^\prime + e^{t}y = t e^{t}\cdot e^{t} = t e^{2t}.
Agora a razão de termos escolhido \mu se mostra: o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{t}y. Para ver isso, uso a regra do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}y\big) = e^{t}y + e^{t}y^\prime,
que é igual ao lado esquerdo obtido. Portanto podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dt}\big(e^{t}y\big) = t e^{2t}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
e^{t}y = \int t e^{2t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Preciso calcular a integral \int t e^{2t}\,dt. Vou resolver essa integral por partes — vou explicar essa técnica: para \int u\,dv escolhemos u e dv de modo que \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aqui escolho u=t (porque sua derivada fica simples) e dv=e^{2t}dt. Então
u=t,\quad du=dt,\quad dv=e^{2t}dt,\quad v=\frac{1}{2}e^{2t}.
Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int t e^{2t}\,dt = t\cdot\frac{1}{2}e^{2t} - \int \frac{1}{2}e^{2t}\,dt.
A integral restante é direta:
\int \frac{1}{2}e^{2t}\,dt = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}e^{2t} = \frac{1}{4}e^{2t}.
Logo
\int t e^{2t}\,dt = \frac{1}{2}t e^{2t} - \frac{1}{4}e^{2t} + C_1,
onde C_1 é uma constante (que vou absorver na constante C do passo anterior).

Passo 5

Substituindo a integral encontrada em e^{t}y = \int t e^{2t}\,dt + C, obtemos
e^{t}y = \frac{1}{2}t e^{2t} - \frac{1}{4}e^{2t} + C.
Agora isolamos y dividindo ambos os lados por e^{t}:
y = \frac{1}{2}t e^{2t}\cdot e^{-t} - \frac{1}{4}e^{2t}\cdot e^{-t} + C e^{-t}.
Simplificando e^{2t}\cdot e^{-t}=e^{t}, temos
y = \frac{1}{2}t e^{t} - \frac{1}{4}e^{t} + C e^{-t}.

Passo 6

Agrupando os dois termos que têm e^{t}, podemos escrever a solução de forma mais compacta:
y(t)=\left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\right)e^{t} + C e^{-t},
onde C é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 7

Breve checagem (útil na prova): podemos derivar y e substituir de volta na equação para verificar. Derivando
y^\prime = \left(\frac{1}{2}\right)e^{t}\left(t-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\right)e^{t} - C e^{-t},
que simplifica (agrupando termos) para y^\prime = t e^{t} - \left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\right)e^{t} - C e^{-t}. Somando y^\prime + y os termos com \left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\right)e^{t} e com C e^{-t} cancelam apropriadamente, restando t e^{t}. Isso confirma a solução.

Resposta

y(t)=\left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\right)e^{t} + C e^{-t}

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