No Problema 7 seja H=\left\{\tau_{a b} \in G \mid a\right. é racional \}. Mostrar que H é um subgrupo de G. Fazer uma lista de tôdas as classes laterais à direita de H em G.

Passo 1

O enunciado dá um grupo G cujos elementos são transformações denotadas por \tau_{a b} (com parâmetros a e b) e define o subconjunto
H=\{\tau_{a b}\in G \mid a\\ \text{é racional}\}.é
O que se pede:
  • Mostrar que H é um subgrupo de G.
  • Fazer uma lista (descrição) de todas as classes laterais à direita de H em G.
Informações relevantes que vamos usar (pressupostas pelo enunciado):
  • Cada \tau_{a b} é uma bijeção que compõe da seguinte forma:
\tau_{a b}\circ\tau_{c d}=\tau_{ac,\\ ad+b}.
  • O parâmetro a é assumido não nulo (para que a transformação seja invertível); escrevo \mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • \mathbb{Q} denota os números racionais.

Passo 2

Lembrando a definição prática de subgrupo (jeito didático): um subconjunto H\subseteq G é subgrupo se
  1. a identidade de G pertence a H;
  2. H é fechado por produto (se x,y\in H então x\circ y\in H);
  3. todo elemento de H tem inverso em H.
Vou checar cada item explicitamente para H.

Passo 3

Identidade: a identidade em G é \tau_{1,0} (pois \tau_{1,0}\circ\tau_{c,d}=\tau_{1\cdot c,\\\ 1\cdot d+0}=\tau_{c,d}). Como 1\in\mathbb{Q}, tem-se \tau_{1,0}\in H. Então a identidade pertence a H.

Passo 4

Fechamento por produto: tome \tau_{a,b},\tau_{c,d}\in H. Por hipótese a\in\mathbb{Q} e c\in\mathbb{Q}. Pela regra de composição,
\tau_{a,b}\circ\tau_{c,d}=\tau_{ac,\\ ad+b}.
O produto ac de dois racionais é racional, então o primeiro parâmetro de \tau_{ac,ad+b} é racional; o segundo parâmetro ad+b é um real qualquer (não importa para a condição). Logo \tau_{a,b}\circ\tau_{c,d}\in H. Portanto H é fechado por produto.

Passo 5

Inversos: para \tau_{a,b}\in G com a\neq0 o inverso é calculado resolvendo \tau_{x,y}\circ\tau_{a,b}=\tau_{1,0}. Usando a lei de composição,
\tau_{x,y}\circ\tau_{a,b}=\tau_{x a,\\ x b + y}=\tau_{1,0}.
Assim é necessário x a=1 e x b + y=0. Daí x=1/a e y=-b/a. Portanto
\tau_{a,b}^{-1}=\tau_{1/a,\\\ -b/a}.
Se a\in\mathbb{Q} então 1/a\in\mathbb{Q} (porque inverso de racional não nulo é racional), logo \tau_{a,b}^{-1}\in H. Assim todo elemento de H tem inverso em H.

Passo 6

Concluindo das verificações dos passos anteriores, H contém a identidade, é fechado por produto e fechado por inversos; portanto H é um subgrupo de G.
Agora vou descrever as classes laterais à direita de H em G.

Passo 7

Definição e cálculo de uma classe lateral à direita: dado \tau_{c,d}\in G, a classe lateral à direita H\tau_{c,d} é
H\tau_{c,d}=\{\tau_{a,b}\circ\tau_{c,d}\mid \tau_{a,b}\in H\}.
Usando a lei de composição obtemos, para \tau_{a,b}\in H (isto é a\in\mathbb{Q}),
\tau_{a,b}\circ\tau_{c,d}=\tau_{ac,\\ ad+b}.
Portanto
H\tau_{c,d}=\{\tau_{ac,\\ ad+b}\mid a\in\mathbb{Q},\\ b\in\mathbb{R}\}.

Passo 8

Análise do conjunto obtido: ao variar a\in\mathbb{Q} o primeiro parâmetro ac descreve o conjunto \mathbb{Q}c=\{q c\mid q\in\mathbb{Q}\}. Ao variar b\in\mathbb{R}, o segundo parâmetro ad+b percorre todo \mathbb{R} (porque b é livre, somando a constante ad apenas desloca a variação). Logo, para cada representante c\in\mathbb{R}^* temos
H\tau_{c,d}=\{\tau_{r,s}\mid r\in\mathbb{Q}c,\\ s\in\mathbb{R}\}.
Note que essa descrição não depende de d: H\tau_{c,d}=H\tau_{c,0}.

Passo 9

Caracterização quando duas classes coincidem: H\tau_{c,d}=H\tau_{e,f} se e somente se \mathbb{Q}c=\mathbb{Q}e, isto é, se existe q\in\mathbb{Q} com e=qc. Em palavras: duas transformações \tau_{c,d} e \tau_{e,f} dão a mesma classe lateral à direita exatamente quando os seus primeiros parâmetros c e e são proporcionais por um fator racional.
Portanto as classes laterais à direita são indexadas pelos cosets multiplicativos de \mathbb{R}^* módulo \mathbb{Q}^*, isto é pelo conjunto \mathbb{R}^*/\mathbb{Q}^*.

Passo 10

Resumo prático (lista das classes laterais): as classes laterais à direita de H em G são exatamente os conjuntos
\boxed{\,H\tau_{c,d}=\{\tau_{r,s}\mid r\in\mathbb{Q}c,\\ s\in\mathbb{R}\}\,,\qquad c\in\mathbb{R}^*,\\ d\in\mathbb{R}\,}
onde cada classe depende apenas da classe multiplicativa de c módulo \mathbb{Q}. Em particular a classe correspondente a c=1 é
H=\{\tau_{r,s}\mid r\in\mathbb{Q},\\ s\in\mathbb{R}\}.

Resposta

H é subgrupo de G.\newline
As classes laterais à direita são
H\tau_{c,d}=\{\tau_{r,s}\mid r\in\mathbb{Q}c,\\ s\in\mathbb{R}\},\quad c\in\mathbb{R}^*,\\ d\in\mathbb{R},
ou seja, são indexadas por \mathbb{R}^*/\mathbb{Q}^*.

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