No Problema 7 seja
é racional
. Mostrar que
é um subgrupo de
. Fazer uma lista de tôdas as classes laterais à direita de
em
.
Passo 1
O enunciado dá um grupo
cujos elementos são transformações denotadas por
(com parâmetros
e
) e define o subconjunto
O que se pede:
- Mostrar que
é um subgrupo de . - Fazer uma lista (descrição) de todas as classes laterais à direita de
em .
Informações relevantes que vamos usar (pressupostas pelo enunciado):
- Cada
é uma bijeção que compõe da seguinte forma:
- O parâmetro
é assumido não nulo (para que a transformação seja invertível); escrevo . -
denota os números racionais.
Passo 2
Lembrando a definição prática de subgrupo (jeito didático): um subconjunto
é subgrupo se
- a identidade de
pertence a ; -
é fechado por produto (se então ); - todo elemento de
tem inverso em .
Vou checar cada item explicitamente para
.
Passo 3
Identidade: a identidade em
é
(pois
). Como
, tem-se
. Então a identidade pertence a
.
Passo 4
Fechamento por produto: tome
. Por hipótese
e
. Pela regra de composição,
O produto
de dois racionais é racional, então o primeiro parâmetro de
é racional; o segundo parâmetro
é um real qualquer (não importa para a condição). Logo
. Portanto
é fechado por produto.
Passo 5
Inversos: para
com
o inverso é calculado resolvendo
. Usando a lei de composição,
Assim é necessário
e
. Daí
e
. Portanto
Se
então
(porque inverso de racional não nulo é racional), logo
. Assim todo elemento de
tem inverso em
.
Passo 6
Concluindo das verificações dos passos anteriores,
contém a identidade, é fechado por produto e fechado por inversos; portanto
é um subgrupo de
.
Agora vou descrever as classes laterais à direita de
em
.
Passo 7
Definição e cálculo de uma classe lateral à direita: dado
, a classe lateral à direita
é
Usando a lei de composição obtemos, para
(isto é
),
Portanto
Passo 8
Análise do conjunto obtido: ao variar
o primeiro parâmetro
descreve o conjunto
. Ao variar
, o segundo parâmetro
percorre todo
(porque
é livre, somando a constante
apenas desloca a variação). Logo, para cada representante
temos
Note que essa descrição não depende de
:
.
Passo 9
Caracterização quando duas classes coincidem:
se e somente se
, isto é, se existe
com
. Em palavras: duas transformações
e
dão a mesma classe lateral à direita exatamente quando os seus primeiros parâmetros
e
são proporcionais por um fator racional.
Portanto as classes laterais à direita são indexadas pelos cosets multiplicativos de
módulo
, isto é pelo conjunto
.
Passo 10
Resumo prático (lista das classes laterais): as classes laterais à direita de
em
são exatamente os conjuntos
onde cada classe depende apenas da classe multiplicativa de
módulo
. Em particular a classe correspondente a
é
Resposta
As classes laterais à direita são
ou seja, são indexadas por
.