Problema 6. Mostre que a função abaixo não é diferenciável em ( 0,0 ).
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\\\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: mostrar que f não é diferenciável no ponto (0,0).
Informações relevantes que temos: a fórmula de f fora da origem e o valor f(0,0)=0. Nenhuma outra figura ou dado é necessário.]

Passo 2

Primeiro vamos recordar, de forma clara e simples, o que significa “ser diferenciável em (0,0)”. Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, ao escrevermos o vetor pequeno (h,k) para nos aproximarmos de (0,0),
f(0+h,0+k)-f(0,0)=L(h,k)+o\big(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\big),
ou seja, o resto dividido por \sqrt{h^{2}+k^{2}} tende a zero quando (h,k)\to(0,0). Uma consequência importante (e fácil de usar na prática) é: se f é diferenciável em (0,0), então as derivadas parciais em (0,0) existem e são os coeficientes da aplicação linear L. Portanto, uma maneira prática de provar que f não é diferenciável é mostrar que pelo menos uma das derivadas parciais em (0,0) não existe (ou não é finita).

Passo 3

Agora vamos escrever a definição das derivadas parciais em (0,0) (só para relembrar e usar):
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}, \qquad f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Se alguma dessas duas razões não tiver limite finito, então a derivada parcial correspondente não existe e, por consequência, f não pode ser diferenciável em (0,0).

Passo 4

Calculemos a derivada parcial em relação a x usando a definição acima. Para h\neq 0 temos que o ponto (h,0) está fora da origem e, substituindo na fórmula de f,
f(h,0)=\frac{h^{2}-0^{3}}{h^{2}+0^{2}}=\frac{h^{2}}{h^{2}}=1.
Logo o quociente diferencial é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{1-0}{h}=\frac{1}{h}.
Quando h\to 0, \dfrac{1}{h} não converge para um número finito: tende para +\infty quando h\to 0^{+} e para -\infty quando h\to 0^{-}. Portanto o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}
não existe (é infinito). Conclusão: f_x(0,0) não existe.

Passo 5

Para completar a intuição, podemos também calcular a derivada parcial em y (não é necessário para concluir, mas ajuda a entender o comportamento). Para h\neq 0,
f(0,h)=\frac{0^{2}-h^{3}}{0^{2}+h^{2}}=-\frac{h^{3}}{h^{2}}=-h.
Assim
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{-h-0}{h}=-1,
e esse quociente é constante igual a -1 para h\neq 0, logo
f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=-1.
Então f_y(0,0) existe e vale -1, mas f_x(0,0) não existe.

Passo 6

Agora a conclusão lógica e final: diferenciabilidade em (0,0) exigiria que ambas as derivadas parciais existissem (porque a aplicação linear L que aproxima f teria como coeficientes f_x(0,0) e f_y(0,0)). Como acabamos de mostrar que f_x(0,0) não existe, segue que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0).

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