A pergunta é: mostrar que f não é diferenciável no ponto (0,0).
Informações relevantes que temos: a fórmula de f fora da origem e o valor f(0,0)=0. Nenhuma outra figura ou dado é necessário.]
Passo 2
Primeiro vamos recordar, de forma clara e simples, o que significa “ser diferenciável em (0,0)”. Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, ao escrevermos o vetor pequeno (h,k) para nos aproximarmos de (0,0),
ou seja, o resto dividido por \sqrt{h^{2}+k^{2}} tende a zero quando (h,k)\to(0,0). Uma consequência importante (e fácil de usar na prática) é: se f é diferenciável em (0,0), então as derivadas parciais em (0,0) existem e são os coeficientes da aplicação linear L. Portanto, uma maneira prática de provar que f não é diferenciável é mostrar que pelo menos uma das derivadas parciais em (0,0) não existe (ou não é finita).
Passo 3
Agora vamos escrever a definição das derivadas parciais em (0,0) (só para relembrar e usar):
Se alguma dessas duas razões não tiver limite finito, então a derivada parcial correspondente não existe e, por consequência, f não pode ser diferenciável em (0,0).
Passo 4
Calculemos a derivada parcial em relação a x usando a definição acima. Para h\neq 0 temos que o ponto (h,0) está fora da origem e, substituindo na fórmula de f,
Quando h\to 0, \dfrac{1}{h} não converge para um número finito: tende para +\infty quando h\to 0^{+} e para -\infty quando h\to 0^{-}. Portanto o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}
não existe (é infinito). Conclusão: f_x(0,0) não existe.
Passo 5
Para completar a intuição, podemos também calcular a derivada parcial em y (não é necessário para concluir, mas ajuda a entender o comportamento). Para h\neq 0,
e esse quociente é constante igual a -1 para h\neq 0, logo
f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=-1.
Então f_y(0,0) existe e vale -1, mas f_x(0,0) não existe.
Passo 6
Agora a conclusão lógica e final: diferenciabilidade em (0,0) exigiria que ambas as derivadas parciais existissem (porque a aplicação linear L que aproxima f teria como coeficientes f_x(0,0) e f_y(0,0)). Como acabamos de mostrar que f_x(0,0) não existe, segue que f não é diferenciável em (0,0).