Problema 4. Seja
. Mostre que
é diferenciável em
e determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto (
).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: mostrar que
é diferenciável em
e determinar a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas: está escrita em termos de
,
e
; o ponto de interesse é
no domínio (note que
exige
, então devemos trabalhar numa vizinhança onde
e
). Não há outras informações no enunciado.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que significa “mostrar diferenciabilidade” aqui (explicação didática): uma função de duas variáveis
é diferenciável em um ponto
se ela pode ser aproximada linearmente por um plano, isto é, existe um linear (o diferencial dado pelo gradiente) que aproxima
de modo que o erro seja pequeno em relação à distância ao ponto. Em fórmulas:
é diferenciável em
se existir um vetor
tal que
quando
. Um teorema prático muito usado na prova: se as derivadas parciais
e
existem num entorno do ponto e são contínuas nesse entorno, então
é diferenciável no ponto. Vou usar esse critério por ser direto e aplicável aqui (a função é composta por produtos e logaritmo, que são suaves em
).
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
(explicando passo a passo). É útil reescrever o logaritmo:
Assim
Ao derivar em relação a
mantemos
fixo. Usamos a regra do produto: se
e
então
. Aqui
e
pois
é constante quando derivamos em relação a
. Logo
Simplificando o segundo termo:
Passo 4
Agora calculamos a derivada parcial em relação a
, com
fixo. Partimos de
. Novamente usamos a regra do produto, agora com
e
(ou mais diretamente derivamos
e
). Faço passo a passo: derivada de
é
, e derivada de
em relação a
é
. Assim, usando produto
como constante multiplicativa:
Simplificando o segundo termo
, temos
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 5
Avaliação das derivadas parciais no ponto
. Note que
. Então
e
Portanto o gradiente no ponto é
.
Passo 6
Justificativa da diferenciabilidade (didática e sem pular passos): as expressões para
e
que obtivemos envolvem polinômios em
, termos como
e
. Essas funções são contínuas em qualquer vizinhança de
contida em
. Podemos escolher um disco centrado em
pequeno o bastante (por exemplo, raio
) tal que nele
e
, garantindo continuidade de todas as componentes. Assim
e
existem e são contínuas em um entorno de
. Pelo teorema padrão de cálculo de várias variáveis, isso implica que
é diferenciável em
. (Intuição: funções formadas por soma, produto e composição de funções diferenciáveis são diferenciáveis; aqui temos produto e logaritmo, todos suaves em
.)
Passo 7
Determinar a equação do plano tangente (explicação de como montar o plano): a fórmula do plano tangente ao gráfico
no ponto
é a aproximação linear
No nosso caso
,
e
. Substituindo os valores das derivadas parciais:
Simplificando:
Então o plano tangente é
. Verificação rápida: no ponto
dá
, que coincide com a altura dada
.