Problema 3.2. Mostre que em
continua valendo que
e que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos duas igualdades em
:
-
-
O que precisamos usar é queé um grupo abeliano, isto é, a adição é associativa, existe elemento neutro e para todo inteiro existe inverso aditivo . Além disso, a subtração é definida por
Passo 2
Vamos provar primeiro que
. Pela definição de subtração, temos
Logo,
Agora aplicamos a associatividade da adição para reagrupar os termos:
Mas
é justamente o elemento neutro
, pois
e a comutatividade garante o mesmo para
. Assim,
Passo 3
Agora provamos que
. De novo, pela definição de subtração,
Usando associatividade,
Como
, obtemos