Problema 3.2. Mostre que em Z continua valendo que (b-a)+a=b e que (a+b)-b=a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos duas igualdades em Z:
  1. (b - a) + a = b
  2. (a + b) - b = a
    O que precisamos usar é que (Z,+) é um grupo abeliano, isto é, a adição é associativa, existe elemento neutro 0 e para todo inteiro x existe inverso aditivo -x. Além disso, a subtração é definida por
x - y = x + (-y)

Passo 2

Vamos provar primeiro que (b - a) + a = b. Pela definição de subtração, temos
b - a = b + (-a)
Logo,
(b - a) + a = l(b + (-a)r) + a
Agora aplicamos a associatividade da adição para reagrupar os termos:
l(b + (-a)r) + a = b + l((-a) + ar)
Mas (-a) + a é justamente o elemento neutro 0, pois a + (-a)=0 e a comutatividade garante o mesmo para (-a)+a. Assim,
b + l((-a)+ar) = b + 0 = b

Passo 3

Agora provamos que (a + b) - b = a. De novo, pela definição de subtração,
(a + b) - b = (a + b) + (-b)
Usando associatividade,
(a + b) + (-b) = a + l(b + (-b)r)
Como b + (-b)=0, obtemos
a + l(b + (-b)r) = a + 0 = a

Resposta

(b - a) + a = b
(a + b) - b = a

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