Problema 3.3. Mostre com exemplos que a subtração não é uma operação nem comutativa nem associativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, por meio de exemplos, que a operação de subtração não satisfaz as propriedades de comutatividade nem de associatividade. Vamos usar números simples para evidenciar cada falha: para comutatividade escolhemos dois valores a e b; para associatividade escolhemos três valores a, b e c.

Passo 2

Para testar a comutatividade, lembramos que uma operação star é comutativa se, para todo x e y, valer
xstar y = ystar x
Tomemos por exemplo a=5 e b=3. Calculamos
a - b = 5 - 3 = 2
e
b - a = 3 - 5 = -2
Como 5 - 3 neq 3 - 5, concluímos que a subtração não é comutativa.

Passo 3

Para testar a associatividade, lembramos que star é associativa se, para todo x, y e z, valer
(xstar y)star z = xstar(ystar z)
Escolhamos a=5, b=3 e c=1. Primeiro calculamos
(a - b) - c = (5 - 3) - 1 = 2 - 1 = 1
Em seguida,
a - (b - c) = 5 - (3 - 1) = 5 - 2 = 3
Como (5 - 3) - 1 neq 5 - (3 - 1), vemos que a subtração não é associativa.

Resposta

Mostramos por contraexemplos que a subtração não é nem comutativa (pois 5-3neq3-5) nem associativa (pois (5-3)-1neq5-(3-1)).

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