1. (Problema 49) Um balão de ar quente está subindo, com uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e se encontra 85 m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. (a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo? (b) Com que velocidade o pacote atinge o solo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo?
  2. (b) Com que velocidade o pacote atinge o solo?
Informações dadas:
\text{altura inicial } y_0 = 85\\ \mathrm{m}
\text{velocidade inicial do pacote (igual à do balão) } v_0 = 10\\ \mathrm{m/s}\\ \text{(para cima)}àã
\text{aceleração da gravidade } g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}\\ \text{(para baixo)}çã
Observação importante retirada do enunciado: o pacote é “deixado cair” a partir do balão que está subindo a 10\\ \mathrm{m/s}, então o pacote inicializa com velocidade para cima de 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Escolhemos um sistema de referência vertical: eixo y com sentido positivo para cima e o solo em y=0. A posição vertical do pacote em função do tempo, sob aceleração constante, é dada pela fórmula
y(t)=y_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2,
onde:
  • y(t) é a altura no instante t,
  • y_0 é a altura inicial ( 85\\ \mathrm{m}),
  • v_0 é a velocidade inicial (positiva se para cima, aqui 10\\ \mathrm{m/s}),
  • a é a aceleração (como escolhemos cima positiva, a=-g=-9,8\\ \mathrm{m/s^2}).
Para encontrar o tempo que leva a atingir o solo, colocamos y(t)=0 (altura do solo) e resolvemos a equação para t.

Passo 3

Substituindo os valores em
y(t)=85+10t+\frac{1}{2}(-9,8)t^2,
obtemos a equação quadrática
85+10t-4,9t^2=0.
Reescrevendo no formato padrão at^2+bt+c=0:
-4,9t^2+10t+85=0
ou multiplicando por -1,
4,9t^2-10t-85=0.
Aqui a=4,9, b=-10 e c=-85 (os sinais conforme essa forma).
Aplicamos a fórmula quadrática
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Calculamos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot 4,9\cdot(-85)=100+4\cdot 4,9\cdot85.
Calculando 4\cdot 4,9\cdot85:
4\cdot 4,9\cdot85=19,6\cdot85=1666,
logo
\Delta=100+1666=1766.
A raiz quadrada é aproximadamente \sqrt{1766}\approx 42,0238.
Agora as soluções:
t=\frac{10\pm 42,0238}{2\cdot 4,9}=\frac{10\pm 42,0238}{9,8}.

Passo 4

Calculamos as duas raízes numéricas:
t_1=\frac{10+42,0238}{9,8}=\frac{52,0238}{9,8}\approx 5,307\\ \mathrm{s},
t_2=\frac{10-42,0238}{9,8}=\frac{-32,0238}{9,8}\approx -3,266\\ \mathrm{s}.
A raiz negativa não tem significado físico aqui (tempo anterior ao instante de soltura), então o tempo que nos interessa é o positivo:
t\approx 5,307\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora calculamos a velocidade no instante do impacto. A fórmula da velocidade para movimento com aceleração constante é
v(t)=v_0+a t,
onde a=-9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
Substituindo v_0=10\\ \mathrm{m/s} e t\approx 5,307\\ \mathrm{s}:
v(5,307)=10+(-9,8)\cdot 5,307\approx 10-51,0238\approx -42,024\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo no impacto. A velocidade escalar (módulo) é aproximadamente 42,02\\ \mathrm{m/s} para baixo.
Como checagem rápida (opcional), podemos usar a relação
v^2=v_0^2+2a\Delta y,
com \Delta y=y_{\text{final}}-y_0=0-85=-85\\ \mathrm{m}. Isso dá
v^2=10^2+2(-9,8)(-85)=100+1666=1766,
logo v=\pm\sqrt{1766}\approx \pm 42,024, e tomando o sinal negativo por ser descida, confirmamos v\approx -42,024\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

t\approx 5,307\\ \mathrm{s}
v\approx -42,024\\ \mathrm{m/s} (ou 42,024\\ \mathrm{m/s} para baixo)

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