- (Problema 49) Um balão de ar quente está subindo, com uma velocidade de
, e se encontra 85 m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. (a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo? (b) Com que velocidade o pacote atinge o solo?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo?
- (b) Com que velocidade o pacote atinge o solo?
Informações dadas:
Observação importante retirada do enunciado: o pacote é “deixado cair” a partir do balão que está subindo a
, então o pacote inicializa com velocidade para cima de
.
Passo 2
Escolhemos um sistema de referência vertical: eixo
com sentido positivo para cima e o solo em
. A posição vertical do pacote em função do tempo, sob aceleração constante, é dada pela fórmula
onde:
-
é a altura no instante , -
é a altura inicial ( ), -
é a velocidade inicial (positiva se para cima, aqui ), -
é a aceleração (como escolhemos cima positiva, ).
Para encontrar o tempo que leva a atingir o solo, colocamos
(altura do solo) e resolvemos a equação para
.
Passo 3
Substituindo os valores em
obtemos a equação quadrática
Reescrevendo no formato padrão
:
ou multiplicando por
,
Aqui
,
e
(os sinais conforme essa forma).
Aplicamos a fórmula quadrática
Calculamos o discriminante:
Calculando
:
logo
A raiz quadrada é aproximadamente
.
Agora as soluções:
Passo 4
Calculamos as duas raízes numéricas:
A raiz negativa não tem significado físico aqui (tempo anterior ao instante de soltura), então o tempo que nos interessa é o positivo:
Passo 5
Agora calculamos a velocidade no instante do impacto. A fórmula da velocidade para movimento com aceleração constante é
onde
.
Substituindo
e
:
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo no impacto. A velocidade escalar (módulo) é aproximadamente
para baixo.
Como checagem rápida (opcional), podemos usar a relação
com
. Isso dá
logo
, e tomando o sinal negativo por ser descida, confirmamos
.