• PROBLEMA 1
    (1 ponto) A função diferenciável z=z(x, y) é dada implicitamente pela equação
x y z+x^{3}+y^{3}+z^{3}=5
Expresse \frac{\partial z}{\partial x} em termos de x, y e z.

Passo 1

O enunciado dá uma relação implícita entre x, y e z, a saber
x\,y\,z + x^{3} + y^{3} + z^{3} = 5,
e pede a derivada parcial \frac{\partial z}{\partial x}. Vamos usar diferenciação implícita, tratando z como função de (x,y) e mantendo y constante.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
F(x,y,z) = x\,y\,z + x^{3} + y^{3} + z^{3} - 5.
Como F(x,y,z(x,y)) = 0, derivando em relação a x (com y constante) obtemos
\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial x} = 0.

Passo 3

Calculamos os parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial x} = y\,z + 3x^{2}, \quad \frac{\partial F}{\partial z} = x\,y + 3z^{2}.

Passo 4

Substituindo na relação da diferenciação implícita e isolando \frac{\partial z}{\partial x}, temos
y\,z + 3x^{2} + \bigl(x\,y + 3z^{2}\bigr)\frac{\partial z}{\partial x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y\,z + 3x^{2}}{x\,y + 3z^{2}}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y\,z + 3x^{2}}{x\,y + 3z^{2}}.

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